Решение задачи 8: Критерий Пирсона (χ²)

Для решения задачи по проверке гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона (\(\chi^2\)), выполним следующие шаги. 1. Составим расчетную таблицу. Для интервального ряда найдем середины интервалов \(x_i\). Объем выборки: \(n = 1 + 24 + 16 + 18 + 24 + 11 + 6 = 100\). Интервалы: 1) 148-152: \(x_1 = 150\), \(n_1 = 1\) 2) 152-156: \(x_2 = 154\), \(n_2 = 24\) 3) 156-160: \(x_3 = 158\), \(n_3 = 16\) 4) 160-164: \(x_4 = 162\), \(n_4 = 18\) 5) 164-168: \(x_5 = 166\), \(n_5 = 24\) 6) 168-172: \(x_6 = 170\), \(n_6 = 11\) 7) 172-176: \(x_7 = 174\), \(n_7 = 6\) 2. Вычислим выборочное среднее \(\bar{x}_B\) и выборочное среднее квадратическое отклонение \(\sigma_B\): \[ \bar{x}_B = \frac{1}{n} \sum x_i n_i = \frac{150 \cdot 1 + 154 \cdot 24 + 158 \cdot 16 + 162 \cdot 18 + 166 \cdot 24 + 170 \cdot 11 + 174 \cdot 6}{100} \] \[ \bar{x}_B = \frac{150 + 3696 + 2528 + 2916 + 3984 + 1870 + 1044}{100} = \frac{16188}{100} = 161,88 \] Вычислим дисперсию \(D_B\): \[ D_B = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x}_B)^2 \] \[ \sum x_i^2 n_i = 150^2 \cdot 1 + 154^2 \cdot 24 + 158^2 \cdot 16 + 162^2 \cdot 18 + 166^2 \cdot 24 + 170^2 \cdot 11 + 174^2 \cdot 6 = 2624832 \] \[ D_B = \frac{2624832}{100} - (161,88)^2 = 26248,32 - 26205,13 = 43,19 \] \[ \sigma_B = \sqrt{43,19} \approx 6,57 \] 3. Вычислим теоретические частоты \(n_i'\). Для этого используем формулу: \[ n_i' = \frac{n \cdot h}{\sigma_B} \cdot \phi(u_i), \text{ где } u_i = \frac{x_i - \bar{x}_B}{\sigma_B}, \text{ шаг } h = 4 \] \[ \frac{n \cdot h}{\sigma_B} = \frac{100 \cdot 4}{6,57} \approx 60,88 \] Рассчитаем значения (используя таблицу функции Лапласа \(\phi(u)\)): - \(u_1 = \frac{150-161,88}{6,57} \approx -1,81 \Rightarrow \phi(1,81) \approx 0,0775 \Rightarrow n_1' = 60,88 \cdot 0,0775 \approx 4,72\) - \(u_2 = \frac{154-161,88}{6,57} \approx -1,20 \Rightarrow \phi(1,20) \approx 0,1942 \Rightarrow n_2' = 60,88 \cdot 0,1942 \approx 11,82\) - \(u_3 = \frac{158-161,88}{6,57} \approx -0,59 \Rightarrow \phi(0,59) \approx 0,3352 \Rightarrow n_3' = 60,88 \cdot 0,3352 \approx 20,41\) - \(u_4 = \frac{162-161,88}{6,57} \approx 0,02 \Rightarrow \phi(0,02) \approx 0,3989 \Rightarrow n_4' = 60,88 \cdot 0,3989 \approx 24,28\) - \(u_5 = \frac{166-161,88}{6,57} \approx 0,63 \Rightarrow \phi(0,63) \approx 0,3271 \Rightarrow n_5' = 60,88 \cdot 0,3271 \approx 19,91\) - \(u_6 = \frac{170-161,88}{6,57} \approx 1,24 \Rightarrow \phi(1,24) \approx 0,1849 \Rightarrow n_6' = 60,88 \cdot 0,1849 \approx 11,26\) - \(u_7 = \frac{174-161,88}{6,57} \approx 1,84 \Rightarrow \phi(1,84) \approx 0,0734 \Rightarrow n_7' = 60,88 \cdot 0,0734 \approx 4,47\) 4. Вычислим наблюдаемое значение критерия \(\chi^2_{набл}\): \[ \chi^2_{набл} = \sum \frac{(n_i - n_i')^2}{n_i'} \] \[ \chi^2_{набл} = \frac{(1-4,72)^2}{4,72} + \frac{(24-11,82)^2}{11,82} + \frac{(16-20,41)^2}{20,41} + \frac{(18-24,28)^2}{24,28} + \frac{(24-19,91)^2}{19,91} + \frac{(11-11,26)^2}{11,26} + \frac{(6-4,47)^2}{4,47} \] \[ \chi^2_{набл} = 2,93 + 12,55 + 0,95 + 1,62 + 0,84 + 0,01 + 0,52 = 19,42 \] 5. Найдем критическое значение \(\chi^2_{крит}\). Число степеней свободы \(k = m - 3\), где \(m = 7\) (число интервалов). \(k = 7 - 3 = 4\). По таблице критических точек распределения \(\chi^2\) при \(\alpha = 0,05\) и \(k = 4\): \[ \chi^2_{крит}(0,05; 4) = 9,49 \] 6. Сравнение и вывод: Так как \(\chi^2_{набл} > \chi^2_{крит}\) (\(19,42 > 9,49\)), гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается. Данные не согласуются с нормальным законом распределения. 7. Гистограмма относительных частот: Для построения в тетради начертите оси. По оси \(OX\) отложите интервалы роста. По оси \(OY\) отложите плотность относительной частоты \(W_i / h\), где \(W_i = n_i / n\). Высоты прямоугольников: 1) \(1/100/4 = 0,0025\) 2) \(24/100/4 = 0,06\) 3) \(16/100/4 = 0,04\) 4) \(18/100/4 = 0,045\) 5) \(24/100/4 = 0,06\) 6) \(11/100/4 = 0,0275\) 7) \(6/100/4 = 0,015\)