Задача:
Два автомобиля проехали одинаковое расстояние 120 км. Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго. Найдите скорости автомобилей, если известно, что первый автомобиль затратил на путь на 1 час меньше, чем второй.
Решение:
Пусть скорость второго автомобиля будет \(x\) км/ч.
Тогда скорость первого автомобиля будет \((x + 20)\) км/ч.
Заполним таблицу для удобства:
| Автомобиль | Расстояние, км | Скорость, км/ч | Время, ч |
| Первый | 120 | \(x + 20\) | \(\frac{120}{x + 20}\) |
| Второй | 120 | \(x\) | \(\frac{120}{x}\) |
По условию задачи, первый автомобиль затратил на путь на 1 час меньше, чем второй. Это означает, что разница во времени равна 1 часу:
\[\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1\]Теперь решим это уравнение. Для начала приведем дроби к общему знаменателю \(x(x + 20)\):
\[\frac{120(x + 20) - 120x}{x(x + 20)} = 1\]Учитывая, что скорость не может быть отрицательной, и знаменатель не может быть равен нулю, мы имеем условие \(x > 0\).
Умножим обе части уравнения на \(x(x + 20)\):
\[120(x + 20) - 120x = x(x + 20)\]Раскроем скобки:
\[120x + 2400 - 120x = x^2 + 20x\]Упростим уравнение:
\[2400 = x^2 + 20x\]Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[x^2 + 20x - 2400 = 0\]Решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или метод подбора множителей. В данном случае, можно заметить, что \((x + 60)(x - 40) = x^2 - 40x + 60x - 2400 = x^2 + 20x - 2400\).
Значит, уравнение можно записать как:
\[(x + 60)(x - 40) = 0\]Отсюда получаем два возможных значения для \(x\):
\[x_1 = -60\] \[x_2 = 40\]Поскольку скорость не может быть отрицательной, мы отбрасываем корень \(x_1 = -60\).
Следовательно, скорость второго автомобиля \(x = 40\) км/ч.
Найдем скорость первого автомобиля:
\[x + 20 = 40 + 20 = 60\]Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч.
Проверка:
Время первого автомобиля: \(\frac{120}{60} = 2\) часа.
Время второго автомобиля: \(\frac{120}{40} = 3\) часа.
Разница во времени: \(3 - 2 = 1\) час. Условие задачи выполняется.
Ответ: Скорость первого автомобиля 60 км/ч, скорость второго автомобиля 40 км/ч.