Область определения функции: Решение задачи

Задача 5. Найдите область определения функции: а) \(y = \sqrt{5x - 4x^2}\) б) \(y = \sqrt{9 - x^2} + \sqrt{5 - 2x}\) в) \(y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 80}}{3x - 36}\) Решение: Для нахождения области определения функции, содержащей квадратный корень, необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. Если функция содержит дробь, знаменатель не должен быть равен нулю. а) \(y = \sqrt{5x - 4x^2}\) 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(5x - 4x^2 \ge 0\) 2. Вынесем \(x\) за скобки: \(x(5 - 4x) \ge 0\) 3. Найдем корни уравнения \(x(5 - 4x) = 0\): \(x_1 = 0\) \(5 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{4} = 1.25\) 4. Рассмотрим интервалы на числовой прямой: \((-\infty; 0]\), \([0; 1.25]\), \([1.25; +\infty)\). * Если \(x < 0\), например \(x = -1\): \((-1)(5 - 4(-1)) = (-1)(5 + 4) = (-1)(9) = -9 < 0\). * Если \(0 \le x \le 1.25\), например \(x = 1\): \((1)(5 - 4(1)) = (1)(1) = 1 \ge 0\). * Если \(x > 1.25\), например \(x = 2\): \((2)(5 - 4(2)) = (2)(5 - 8) = (2)(-3) = -6 < 0\). 5. Таким образом, неравенство \(x(5 - 4x) \ge 0\) выполняется при \(0 \le x \le 1.25\). Ответ: Область определения функции: \([0; 1.25]\). б) \(y = \sqrt{9 - x^2} + \sqrt{5 - 2x}\) 1. Для первого корня: \(9 - x^2 \ge 0\) \(x^2 \le 9\) \(-3 \le x \le 3\) 2. Для второго корня: \(5 - 2x \ge 0\) \(5 \ge 2x\) \(x \le \frac{5}{2}\) \(x \le 2.5\) 3. Область определения функции является пересечением этих двух условий. Нам нужно найти такие \(x\), которые удовлетворяют обоим неравенствам: \(-3 \le x \le 3\) и \(x \le 2.5\) 4. На числовой прямой это выглядит так: Первое условие: \([-3; 3]\) Второе условие: \((-\infty; 2.5]\) Пересечение этих интервалов: \([-3; 2.5]\). Ответ: Область определения функции: \([-3; 2.5]\). в) \(y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 80}}{3x - 36}\) 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(x^2 + 2x - 80 \ge 0\) 2. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 80 = 0\) с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\) \(\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\) \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10\) \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8\) 3. Так как парабола \(y = x^2 + 2x - 80\) имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный), то \(x^2 + 2x - 80 \ge 0\) при \(x \le -10\) или \(x \ge 8\). То есть, \(x \in (-\infty; -10] \cup [8; +\infty)\). 4. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \(3x - 36 \ne 0\) \(3x \ne 36\) \(x \ne \frac{36}{3}\) \(x \ne 12\) 5. Объединим оба условия. Из интервалов \((-\infty; -10] \cup [8; +\infty)\) нужно исключить точку \(x = 12\). Точка \(12\) находится в интервале \([8; +\infty)\). Значит, область определения будет: \((-\infty; -10] \cup [8; 12) \cup (12; +\infty)\). Ответ: Область определения функции: \((-\infty; -10] \cup [8; 12) \cup (12; +\infty)\).