Решение задачи a=6 b=9 sin(b)=3/4

Задача: Дан треугольник со сторонами \(a=6\), \(b=9\) и углом \(\beta\), противолежащим стороне \(b\), причем \(\sin\beta = \frac{3}{4}\). Найдите угол \(\alpha\), противолежащий стороне \(a\). Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов этого треугольника. В нашем случае, для сторон \(a\) и \(b\) и противолежащих им углов \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, теорема синусов записывается так: \[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \] Нам известны значения \(a\), \(b\) и \(\sin\beta\). Подставим их в формулу: \[ \frac{6}{\sin\alpha} = \frac{9}{\frac{3}{4}} \] Сначала упростим правую часть уравнения: \[ \frac{9}{\frac{3}{4}} = 9 \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{3} = \frac{36}{3} = 12 \] Теперь наше уравнение выглядит так: \[ \frac{6}{\sin\alpha} = 12 \] Чтобы найти \(\sin\alpha\), выразим его из этого уравнения: \[ \sin\alpha = \frac{6}{12} \] \[ \sin\alpha = \frac{1}{2} \] Теперь нам нужно найти угол \(\alpha\), синус которого равен \(\frac{1}{2}\). Известно, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\). В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Если \(\alpha = 30^\circ\), то это возможно. Если \(\alpha = 150^\circ\), то это также возможно, если \(\beta\) достаточно мал. Давайте проверим, какой из углов подходит. Мы знаем, что \(\sin\beta = \frac{3}{4}\). Так как \(\frac{3}{4} = 0.75\), то \(\beta\) - острый угол (так как \(\sin 90^\circ = 1\), а \(\sin 60^\circ \approx 0.866\), \(\sin 45^\circ \approx 0.707\), то \(\beta\) находится между \(45^\circ\) и \(60^\circ\)). Если \(\alpha = 150^\circ\), то сумма \(\alpha + \beta\) будет больше \(150^\circ + 45^\circ = 195^\circ\), что больше \(180^\circ\). Это невозможно для углов треугольника. Следовательно, угол \(\alpha\) не может быть \(150^\circ\). Значит, \(\alpha\) должен быть \(30^\circ\). Ответ: \(30^\circ\).