Решение задачи: Параллелепипед, плоскость KMN

Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед. \(DC = 24\), \(CC_1 = 32\). \(K\) — середина \(AD\) (так как \(AD = 2AK\)). \(M\) — середина \(D_1A\) (так как \(AM = MD_1\)). \(N\) лежит на \(AB\), причем \(AN = MC\). Найти: длину отрезка, по которому плоскость \(KMN\) пересекает грань \(DCC_1D_1\). Решение: 1. Построим сечение и найдем линию пересечения. Плоскость \(KMN\) пересекает грань \(ADD_1A_1\) по прямой \(KM\). Так как \(K\) — середина \(AD\), а \(M\) — середина \(AD_1\), то \(KM\) — средняя линия треугольника \(ADD_1\). Следовательно, \(KM \parallel DD_1\). 2. Поскольку \(KM \parallel DD_1\), а \(DD_1\) принадлежит плоскости грани \(DCC_1D_1\), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая \(KM\) параллельна плоскости \(DCC_1D_1\). 3. Если плоскость (\(KMN\)) проходит через прямую (\(KM\)), параллельную другой плоскости (\(DCC_1D_1\)), то линия их пересечения будет параллельна этой прямой. Значит, искомый отрезок (назовем его \(NP\), где \(P\) лежит на \(CD\)) будет параллелен \(KM\), а значит, и параллелен \(DD_1\). 4. Рассмотрим положение точек. В прямоугольном треугольнике \(D_1DC\): \[D_1C = \sqrt{DC^2 + DD_1^2} = \sqrt{24^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40\] По условию \(AM = MD_1\), значит \(M\) — середина гипотенузы \(AD_1\). В прямоугольнике \(ABCD\) точка \(N\) лежит на \(AB\). По условию \(AN = MC\). Найдем \(MC\). В прямоугольном треугольнике \(D_1DC\) точка \(M\) является проекцией на плоскость \(ADD_1\), но для вычисления \(MC\) удобнее рассмотреть координаты или теорему Пифагора в пространстве. Однако, для нахождения линии пересечения с гранью \(DCC_1D_1\), нам важно, что плоскость \(KMN\) "вертикальна", так как содержит \(KM \parallel DD_1\). 5. Линия пересечения плоскости \(KMN\) с гранью \(DCC_1D_1\) — это отрезок, проходящий через точку, лежащую одновременно в \(KMN\) и \(DCC_1D_1\). Заметим, что прямая \(KN\) лежит в основании \(ABCD\). Продлим \(KN\) до пересечения с прямой \(DC\). Точка пересечения \(S\) будет принадлежать искомой линии. Так как \(KM \parallel DD_1\), то сечение будет представлять собой прямоугольник (или часть его), параллельный боковому ребру. Длина отрезка пересечения в грани \(DCC_1D_1\) будет равна высоте параллелепипеда, если сечение проходит "насквозь" от нижнего до верхнего основания. 6. Высота параллелепипеда \(CC_1 = DD_1 = 32\). Так как \(KM \parallel DD_1\), то любая линия пересечения этой плоскости с вертикальными гранями, параллельными \(DD_1\), будет иметь длину, равную высоте части этой грани. В данном случае, отрезок пересечения плоскости \(KMN\) с плоскостью \(DCC_1D_1\) — это вертикальный отрезок, равный \(DD_1\). Ответ: 32.