Решение задачи о сходимости рядов

Хорошо, давайте разберем, какие еще виды сходимости бывают у рядов и как подходить к решению таких задач в целом.

Виды сходимости рядов

Ряды могут сходиться тремя основными способами: 1. Абсолютная сходимость: Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и обычным образом (условно). Абсолютная сходимость — это "более сильный" вид сходимости. 2. Условная сходимость: Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) называется условно сходящимся, если он сходится сам по себе, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Пример такой сходимости мы только что рассмотрели в предыдущей задаче. 3. Расходимость: Ряд называется расходящимся, если он не сходится ни абсолютно, ни условно. То есть, его сумма не стремится к конечному числу.

Общий алгоритм исследования ряда на сходимость

При исследовании ряда на сходимость, особенно если он знакопеременный, удобно придерживаться следующего алгоритма: 1. Определить тип ряда: * Знакоположительный ряд: Все члены ряда \(a_n \ge 0\). * Знакопеременный ряд: Члены ряда меняют знак (например, \( (-1)^n a_n \) или \( \cos(\pi n) a_n \)). * Ряд с произвольными знаками: Знаки членов меняются нерегулярно. 2. Исследование на абсолютную сходимость (особенно для знакопеременных рядов): * Рассмотреть ряд из абсолютных величин \( \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \). * Если этот ряд сходится, то исходный ряд сходится абсолютно, а значит, и просто сходится. На этом исследование можно закончить. * Если ряд из абсолютных величин расходится, то исходный ряд не сходится абсолютно. В этом случае нужно переходить к исследованию на условную сходимость. 3. Исследование на сходимость (для знакоположительных рядов или для условной сходимости знакопеременных рядов): Для этого используются различные признаки сходимости. Выбор признака зависит от вида общего члена ряда \(a_n\). * Необходимый признак сходимости: Если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, то \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). * Если \( \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \) (или предел не существует), то ряд расходится. * Если \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), то ряд *может* сходиться, но это не гарантировано. Нужно применять другие признаки. * Признаки сравнения (для знакоположительных рядов): * Признак сравнения в форме неравенства: Если \(0 \le a_n \le b_n\) для всех \(n \ge N\), то: * Если \( \sum b_n \) сходится, то \( \sum a_n \) сходится. * Если \( \sum a_n \) расходится, то \( \sum b_n \) расходится. * Предельный признак сравнения: Если \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \), где \(0 < L < \infty\), то ряды \( \sum a_n \) и \( \sum b_n \) сходятся или расходятся одновременно. Часто в качестве \(b_n\) берут члены обобщенного гармонического ряда \( \sum \frac{1}{n^p} \), который сходится при \(p > 1\) и расходится при \(p \le 1\). * Признак Даламбера (для знакоположительных рядов): Находим предел отношения последующего члена к предыдущему: \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \). * Если \( L < 1 \), ряд сходится. * Если \( L > 1 \), ряд расходится. * Если \( L = 1 \), признак не дает ответа, нужно применять другие признаки. * Признак Коши (радикальный признак, для знакоположительных рядов): Находим предел корня \(n\)-й степени из общего члена: \( L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \). * Если \( L < 1 \), ряд сходится. * Если \( L > 1 \), ряд расходится. * Если \( L = 1 \), признак не дает ответа. * Интегральный признак Коши (для знакоположительных рядов): Если \(f(x)\) — непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция на \([N, \infty)\) такая, что \(f(n) = a_n\), то ряд \( \sum_{n=N}^{\infty} a_n \) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл \( \int_{N}^{\infty} f(x) dx \). * Признак Лейбница (для знакопеременных рядов вида \( \sum (-1)^n a_n \) или \( \sum (-1)^{n+1} a_n \), где \(a_n > 0\)): Ряд сходится, если: 1. Последовательность \(a_n\) монотонно убывает (то есть \(a_{n+1} \le a_n\)). 2. \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Если эти условия выполнены, ряд сходится условно (если ряд из абсолютных величин расходится).

Пример применения алгоритма (на основе вашей задачи)

Давайте еще раз пройдемся по вашей задаче, используя этот алгоритм: Ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2-1} \] 1. Определяем тип ряда: Это знакопеременный ряд, так как присутствует множитель \( (-1)^n \). 2. Исследуем на абсолютную сходимость: Рассматриваем ряд из абсолютных величин: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \left| (-1)^n \frac{n}{n^2-1} \right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} \] Это знакоположительный ряд. Применяем предельный признак сравнения. Сравниваем с рядом \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \) (расходящийся гармонический ряд). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{n^2}} = 1 \] Так как предел равен 1 (конечное число, не равное нулю), и ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \) расходится, то ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} \) тоже расходится. Вывод: Исходный ряд не сходится абсолютно. 3. Исследуем на условную сходимость (применяем признак Лейбница): Для ряда \( \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n a_n \), где \( a_n = \frac{n}{n^2-1} \). * Проверяем монотонность \(a_n\): Мы уже показали, что \(f'(x) = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} < 0\) для \(x \ge 2\). Значит, \(a_n\) монотонно убывает. * Проверяем предел \(a_n\): \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2-1} = 0 \] Оба условия признака Лейбница выполнены. Вывод: Исходный ряд сходится. 4. Окончательный вывод: Ряд сходится (по признаку Лейбница), но не сходится абсолютно. Следовательно, ряд сходится условно. Этот алгоритм позволяет систематически подходить к решению задач на сходимость рядов и выбирать наиболее подходящие признаки.