Чтобы решать задачи на нахождение области сходимости функционального ряда, особенно степенного ряда, нужно следовать определенному алгоритму. Вот основные шаги и методы:
1. Определить тип ряда
Прежде всего, нужно понять, с каким типом ряда вы имеете дело. Чаще всего встречаются:
- Степенные ряды: имеют вид \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \). Это самый распространенный тип для таких задач.
- Функциональные ряды общего вида: имеют вид \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \). Для них часто применяют признаки сходимости (Даламбера, Коши) к ряду из абсолютных значений.
2. Для степенных рядов: Найти радиус сходимости \( R \)
Для степенного ряда \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \) радиус сходимости \( R \) можно найти одним из двух способов:
Метод 1: Признак Даламбера
Если существует предел \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \), то радиус сходимости \( R = \frac{1}{L} \).
Если \( L = 0 \), то \( R = \infty \) (ряд сходится на всей числовой оси).
Если \( L = \infty \), то \( R = 0 \) (ряд сходится только в точке \( x = x_0 \)).
Метод 2: Признак Коши (формула Коши-Адамара)
Если существует предел \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \), то радиус сходимости \( R = \frac{1}{L} \).
Этот метод особенно полезен, когда \( a_n \) содержит степени \( n \).
3. Определить интервал сходимости
После нахождения радиуса сходимости \( R \), интервал сходимости определяется неравенством:
\[ |x - x_0| < R \]
Это неравенство раскрывается как:
\[ -R < x - x_0 < R \]
\[ x_0 - R < x < x_0 + R \]
Полученный интервал \( (x_0 - R, x_0 + R) \) является интервалом сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
4. Проверить сходимость на концах интервала
Это очень важный шаг, так как на концах интервала сходимости (то есть при \( x = x_0 - R \) и \( x = x_0 + R \)) ряд может сходиться или расходиться. Для этого нужно:
- Подставить \( x = x_0 - R \) в исходный ряд. Получится числовой ряд.
- Подставить \( x = x_0 + R \) в исходный ряд. Получится другой числовой ряд.
- Для каждого из этих числовых рядов применить соответствующие признаки сходимости числовых рядов:
- Признак Даламбера: для рядов с положительными членами.
- Признак Коши: для рядов с положительными членами.
- Интегральный признак: для рядов, члены которых можно представить как значения убывающей функции.
- Признак сравнения: сравнение с известными сходящимися или расходящимися рядами (например, гармонический ряд \( \sum \frac{1}{n} \) расходится, p-ряд \( \sum \frac{1}{n^p} \) сходится при \( p > 1 \)).
- Признак Лейбница: для знакопеременных рядов вида \( \sum (-1)^n b_n \), где \( b_n > 0 \). Ряд сходится, если \( b_n \) монотонно убывает к нулю.
- Необходимый признак сходимости: если \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \), то ряд расходится. Если предел равен нулю, это не гарантирует сходимости.
5. Записать окончательную область сходимости
Область сходимости будет интервалом \( (x_0 - R, x_0 + R) \), к которому добавляются те концы, на которых ряд сходится.
Например:
- Если ряд сходится на обоих концах: \( [x_0 - R, x_0 + R] \)
- Если ряд сходится только на левом конце: \( [x_0 - R, x_0 + R) \)
- Если ряд сходится только на правом конце: \( (x_0 - R, x_0 + R] \)
- Если ряд расходится на обоих концах: \( (x_0 - R, x_0 + R) \)
Пример (повторение вашей задачи):
Ряд: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(x-1)^n \)
1.
Тип ряда: Степенной ряд с \( a_n = \frac{1}{2^n} \) и \( x_0 = 1 \).
2.
Радиус сходимости \( R \):
Используем признак Даламбера:
\( a_n = \frac{1}{2^n} \), \( a_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} \)
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{2^{n+1}} \cdot 2^n \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} \]
Значит, \( L = \frac{1}{2} \).
Радиус сходимости \( R = \frac{1}{L} = \frac{1}{1/2} = 2 \).
3.
Интервал сходимости:
\( |x - x_0| < R \)
\( |x - 1| < 2 \)
\( -2 < x - 1 < 2 \)
\( -1 < x < 3 \)
Интервал сходимости: \( (-1, 3) \).
4.
Проверка на концах интервала:
* При \( x = -1 \):
Ряд становится \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(-1-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \).
Это знакопеременный ряд. Проверяем необходимый признак сходимости: \( \lim_{n \to \infty} (-1)^n \) не существует (или \( \lim_{n \to \infty} |(-1)^n| = 1 \neq 0 \)).
Ряд расходится.
* При \( x = 3 \):
Ряд становится \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(3-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1 \).
Проверяем необходимый признак сходимости: \( \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0 \).
Ряд расходится.
5.
Окончательная область сходимости:
Поскольку на обоих концах интервала ряд расходится, область сходимости остается \( (-1, 3) \).
Этот алгоритм позволяет систематически подходить к решению таких задач. Главное — быть внимательным при вычислении пределов и применении признаков сходимости для числовых рядов на концах интервала.
