Решение задачи: Разница в расходах (Шези, Маннинг, Агроскикин)

Задача №2.4 Дано: \(l = 105\) м \(\omega = 0,015 \text{ м}^2\) \(v = 7\) м/с (в условии \(c\)) \(t = 20^\circ\text{C}\) Труба стальная сварная новая. Формы сечения: круг, квадрат, равносторонний треугольник. Найти: \(\Delta p_{круг}\), \(\Delta p_{квадр}\), \(\Delta p_{треуг}\) Решение: 1. Физические свойства воды при \(20^\circ\text{C}\): Плотность \(\rho = 998,2 \text{ кг/м}^3 \approx 1000 \text{ кг/м}^3\). Кинематическая вязкость \(\nu \approx 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2/\text{с}\). 2. Для сечений некруглой формы используется эквивалентный (гидравлический) диаметр: \[d_{экв} = 4R = \frac{4\omega}{\chi}\] где \(\chi\) — смоченный периметр. 3. Расчет для круглого сечения: \[\omega = \frac{\pi d^2}{4} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{4\omega}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,015}{3,14}} \approx 0,138 \text{ м}\] Периметр \(\chi_{круг} = \pi d = 3,14 \cdot 0,138 \approx 0,433 \text{ м}\). \[d_{экв.круг} = d = 0,138 \text{ м}\] 4. Расчет для квадратного сечения: \[\omega = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{0,015} \approx 0,1225 \text{ м}\] Периметр \(\chi_{квадр} = 4a = 4 \cdot 0,1225 = 0,49 \text{ м}\). \[d_{экв.квадр} = \frac{4 \cdot 0,015}{0,49} \approx 0,1224 \text{ м}\] 5. Расчет для треугольного сечения (равносторонний): \[\omega = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow b = \sqrt{\frac{4\omega}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,015}{1,732}} \approx 0,186 \text{ м}\] Периметр \(\chi_{треуг} = 3b = 3 \cdot 0,186 = 0,558 \text{ м}\). \[d_{экв.треуг} = \frac{4 \cdot 0,015}{0,558} \approx 0,1075 \text{ м}\] 6. Определение коэффициента трения \(\lambda\): Найдем число Рейнольдса (на примере круга): \[Re = \frac{v \cdot d}{\nu} = \frac{7 \cdot 0,138}{10^{-6}} = 966000\] Для стальных новых труб эквивалентная шероховатость \(\Delta \approx 0,1 \text{ мм} = 0,0001 \text{ м}\). При таких \(Re\) используем формулу Альтшуля: \[\lambda = 0,11 \cdot \left( \frac{\Delta}{d_{экв}} + \frac{68}{Re} \right)^{0,25}\] Для круга: \(\lambda_1 \approx 0,11 \cdot (0,0001/0,138 + 68/966000)^{0,25} \approx 0,019\) Для квадрата: \(\lambda_2 \approx 0,0195\) Для треугольника: \(\lambda_3 \approx 0,0205\) (Для школьного уровня допустимо принять \(\lambda \approx 0,02\) для всех случаев, так как разница невелика). 7. Расчет потерь давления \(\Delta p = \lambda \cdot \frac{l}{d_{экв}} \cdot \frac{\rho v^2}{2}\): Круг: \[\Delta p_1 = 0,019 \cdot \frac{105}{0,138} \cdot \frac{1000 \cdot 7^2}{2} \approx 353800 \text{ Па} \approx 353,8 \text{ кПа}\] Квадрат: \[\Delta p_2 = 0,0195 \cdot \frac{105}{0,1224} \cdot \frac{1000 \cdot 49}{2} \approx 410000 \text{ Па} \approx 410 \text{ кПа}\] Треугольник: \[\Delta p_3 = 0,0205 \cdot \frac{105}{0,1075} \cdot \frac{1000 \cdot 49}{2} \approx 490000 \text{ Па} \approx 490 \text{ кПа}\] Ответ: \(\Delta p_{круг} \approx 353,8 \text{ кПа}\); \(\Delta p_{квадр} \approx 410 \text{ кПа}\); \(\Delta p_{треуг} \approx 490 \text{ кПа}\). Наименьшие потери в круглой трубе, так как у неё наименьший периметр при той же площади. Это подтверждает эффективность инженерных решений, принятых в отечественных стандартах ЖКХ.