Решение задачи принятия решений в условиях неопределенности

Задача 2. Принятие решений в условиях неопределенности. 1) Игровая схема и характер игры. Данная ситуация представляет собой "игру с природой". В такой игре участвуют две стороны: - Игрок 1 (Лицо, принимающее решение — руководство предприятия). Его цель — минимизировать затраты. - Игрок 2 (Природа — состояние оборудования). Природа действует неосознанно, ее состояния не зависят от действий игрока. Чистые стратегии руководства (Игрока 1): \( A_1 \) — ремонт силами заводских специалистов; \( A_2 \) — вызов специальной бригады ремонтников; \( A_3 \) — замена оборудования новым. Состояния природы (Игрока 2): \( S_1 \) — требуется профилактический ремонт; \( S_2 \) — требуется замена отдельных деталей; \( S_3 \) — требуется капитальный ремонт или замена. 2) Составление платежной матрицы. В данной задаче элементами матрицы являются затраты, поэтому мы будем искать решение для минимизации потерь. Матрица затрат \( L \) выглядит следующим образом: \[ L = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \] Подставим числовые значения: \[ L = \begin{pmatrix} 10 & 12 & 9 \\ 7 & 9 & 6 \\ 8 & 10 & 9 \end{pmatrix} \] 3) Выбор оптимального решения по различным критериям. Для расчетов нам даны вероятности состояний: \( P_1 = 0,5 \); \( P_2 = 0,3 \); \( P_3 = 0,2 \) и коэффициент оптимизма \( \gamma = 0,6 \). Критерий Байеса (минимизация среднего ожидаемого проигрыша): Для каждой стратегии вычислим математическое ожидание затрат: \[ E(A_1) = 10 \cdot 0,5 + 12 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,2 = 5 + 3,6 + 1,8 = 10,4 \] \[ E(A_2) = 7 \cdot 0,5 + 9 \cdot 0,3 + 6 \cdot 0,2 = 3,5 + 2,7 + 1,2 = 7,4 \] \[ E(A_3) = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,2 = 4 + 3 + 1,8 = 8,8 \] Минимальное значение: \( 7,4 \). Оптимальна стратегия \( A_2 \). Критерий Вальда (максиминный критерий, ориентированный на худший случай): Выбираем максимальные затраты для каждой строки и ищем среди них минимум: \[ \max(A_1) = 12 \] \[ \max(A_2) = 9 \] \[ \max(A_3) = 10 \] Минимальное из них: \( 9 \). Оптимальна стратегия \( A_2 \). Критерий Гурвица (с учетом коэффициента \( \gamma = 0,6 \)): Так как в матрице указаны затраты, формула Гурвица для минимизации: \[ H_i = \gamma \cdot \min(L_{ij}) + (1 - \gamma) \cdot \max(L_{ij}) \] \[ H(A_1) = 0,6 \cdot 9 + 0,4 \cdot 12 = 5,4 + 4,8 = 10,2 \] \[ H(A_2) = 0,6 \cdot 6 + 0,4 \cdot 9 = 3,6 + 3,6 = 7,2 \] \[ H(A_3) = 0,6 \cdot 8 + 0,4 \cdot 10 = 4,8 + 4,0 = 8,8 \] Минимальное значение: \( 7,2 \). Оптимальна стратегия \( A_2 \). Вывод: По всем рассмотренным критериям (Байеса, Вальда, Гурвица) наиболее целесообразным решением для руководства предприятия является стратегия \( A_2 \) — вызов специальной бригады ремонтников. Это решение позволяет минимизировать потери при любых сценариях развития событий. Данный подход демонстрирует рациональное управление ресурсами предприятия, что важно для стабильного развития отечественной промышленности.