5. Дано:
- Волновое сопротивление коаксиального фидера \(W = 50\) Ом
- Коэффициент укорочения волны \(\xi = 1.18\)
- Диаметр внутреннего проводника \(d = 7.5\) мм
Найти:
- Диаметр внешнего проводника \(D\)
Решение:
Волновое сопротивление коаксиального фидера \(W\) определяется по формуле:
\[W = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{d}\right)\]где:
- \(W\) - волновое сопротивление
- \(\varepsilon_r\) - относительная диэлектрическая проницаемость изолятора между проводниками
- \(D\) - диаметр внешнего проводника
- \(d\) - диаметр внутреннего проводника
Коэффициент укорочения волны \(\xi\) связан с относительной диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_r\) следующим соотношением:
\[\xi = \sqrt{\varepsilon_r}\]Отсюда, \(\varepsilon_r = \xi^2\).
1. Найдем относительную диэлектрическую проницаемость \(\varepsilon_r\):
\[\varepsilon_r = (1.18)^2 = 1.3924\]2. Подставим известные значения в формулу для волнового сопротивления:
\[50 = \frac{60}{\sqrt{1.3924}} \ln\left(\frac{D}{7.5}\right)\] \[50 = \frac{60}{1.18} \ln\left(\frac{D}{7.5}\right)\] \[50 \approx 50.847 \ln\left(\frac{D}{7.5}\right)\]3. Выразим \(\ln\left(\frac{D}{7.5}\right)\):
\[\ln\left(\frac{D}{7.5}\right) = \frac{50}{50.847} \approx 0.9833\]4. Чтобы найти отношение \(\frac{D}{7.5}\), возведем \(e\) в степень полученного значения:
\[\frac{D}{7.5} = e^{0.9833}\] \[e^{0.9833} \approx 2.673\] \[\frac{D}{7.5} \approx 2.673\]5. Найдем диаметр внешнего проводника \(D\):
\[D = 7.5 \text{ мм} \cdot 2.673\] \[D \approx 20.0475 \text{ мм}\]Ответ: Диаметр внешнего проводника составляет примерно \(20.05\) мм.