Решение задачи: Найти косинус угла по известному синусу

Решим задачу по тригонометрии. Задача: Используя основное тригонометрическое тождество, найдите косинус острого угла, если синус равен \(\frac{\sqrt{5}}{3}\). Дано: Синус острого угла \(\alpha\) равен \(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Угол \(\alpha\) - острый. Найти: Косинус угла \(\alpha\), то есть \(\cos(\alpha)\). Решение: 1. Основное тригонометрическое тождество гласит: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\] 2. Нам известен синус угла \(\alpha\). Подставим его значение в тождество: \[\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1\] 3. Возведем синус в квадрат: \[\frac{(\sqrt{5})^2}{3^2} + \cos^2(\alpha) = 1\] \[\frac{5}{9} + \cos^2(\alpha) = 1\] 4. Выразим \(\cos^2(\alpha)\): \[\cos^2(\alpha) = 1 - \frac{5}{9}\] 5. Выполним вычитание: \[\cos^2(\alpha) = \frac{9}{9} - \frac{5}{9}\] \[\cos^2(\alpha) = \frac{4}{9}\] 6. Чтобы найти \(\cos(\alpha)\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[\cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}\] \[\cos(\alpha) = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\] \[\cos(\alpha) = \pm\frac{2}{3}\] 7. В условии сказано, что угол \(\alpha\) - острый. Острый угол находится в первой четверти (от \(0^\circ\) до \(90^\circ\)). В первой четверти значения синуса и косинуса положительны. Поэтому мы выбираем положительное значение косинуса. \[\cos(\alpha) = \frac{2}{3}\] Сравним с предложенными вариантами: 1. \(\frac{\sqrt{8}}{3}\) 2. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 3. \(\frac{2}{3}\) 4. \(\frac{1}{4}\) Наш результат \(\frac{2}{3}\) совпадает с третьим вариантом. Ответ: Косинус острого угла равен \(\frac{2}{3}\).