Решение задач: Относительная скорость и ускорение

Относительная скорость \( v_r \) — это скорость движения точки \( M \) по отношению к подвижной системе координат (в данном случае — по поверхности вращающейся плоскости). В задачах теоретической механики относительную скорость можно найти несколькими способами, в зависимости от известных данных: 1. Из кинематических уравнений движения Если задан закон относительного движения точки вдоль траектории (например, вдоль оси \( x \)) в виде функции от времени \( s = f(t) \), то относительная скорость находится как первая производная от этого закона по времени: \[ v_r = \frac{ds}{dt} = \dot{s} \] 2. Через теорему о сложении скоростей Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки \( \vec{v}_a \) равна векторной сумме переносной скорости \( \vec{v}_e \) и относительной скорости \( \vec{v}_r \): \[ \vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r \] Отсюда относительную скорость можно найти векторно: \[ \vec{v}_r = \vec{v}_a - \vec{v}_e \] Где переносная скорость \( v_e \) для вращающейся системы вычисляется как: \[ v_e = \omega \cdot h \] (\( \omega \) — угловая скорость, \( h \) — расстояние до оси вращения). 3. Из закона сохранения энергии (динамический метод) Если на точку действуют силы, можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии в относительном движении. Для этого учитывается работа всех приложенных сил и работа переносной силы инерции \( \Phi_e \): \[ \frac{m v_r^2}{2} - \frac{m v_{r0}^2}{2} = \sum A(F_i) + A(\Phi_e) \] Важно помнить, что работа силы Кориолиса \( \Phi_k \) всегда равна нулю, так как она всегда перпендикулярна вектору относительной скорости \( v_r \). 4. Из дифференциального уравнения движения Если составить уравнение движения точки в проекции на ось \( x \) (вдоль которой движется точка), используя второй закон Ньютона в относительной системе координат: \[ m \frac{d v_r}{dt} = \sum F_{ix} + \Phi_{ex} \] Интегрируя это уравнение по времени или координате, можно найти значение \( v_r \). Для записи в тетрадь: Относительная скорость \( v_r \) характеризует перемещение точки по направляющей. На схеме она направлена вдоль оси \( x \). Если движение равномерное, то \( v_r = \frac{s}{t} \), если равноускоренное — \( v_r = v_{r0} + a_r t \).