Решение задачи 6.2: Что такое мю и почему равно 1

Задача 6.2 Дано: \(T^* = 400\) К \(p^* = 1,5\) МПа \(= 1,5 \cdot 10^6\) Па \(p_0 = 0,1\) МПа \(= 10^5\) Па (атмосферное давление из задачи 6.1) \(d_{кр} = 15\) мм \(= 0,015\) м \(k = 1,4\) \(R = 287\) Дж/(кг·К) Найти: \(T_1\), \(Q\), \(c_1\), \(d_1\) Решение: 1. Расход воздуха \(Q\). В сопле Лаваля расход определяется по параметрам в критическом сечении (узком месте). Так как диаметр критического сечения \(d_{кр}\) и параметры в баллоне совпадают с данными задачи 6.1, то расход будет таким же: \[ Q = 0,535 \text{ кг/с} \] 2. Температура на выходе \(T_1\). Предполагаем, что сопло Лаваля расширяет газ до атмосферного давления \(p_1 = p_0 = 0,1\) МПа. Используем адиабатическую зависимость между давлением и температурой: \[ T_1 = T^* \cdot \left( \frac{p_1}{p^*} \right)^{\frac{k-1}{k}} \] \[ T_1 = 400 \cdot \left( \frac{0,1}{1,5} \right)^{\frac{0,4}{1,4}} = 400 \cdot (0,0667)^{0,2857} \approx 400 \cdot 0,461 \approx 184,4 \text{ К} \] 3. Скорость воздуха на выходе \(c_1\). Скорость на выходе из сопла Лаваля определяется по уравнению энергии (формула Сен-Венана — Ванцеля): \[ c_1 = \sqrt{\frac{2k}{k-1} R T^* \left[ 1 - \left( \frac{p_1}{p^*} \right)^{\frac{k-1}{k}} \right]} \] Заметим, что выражение в скобках мы уже частично вычислили: \[ c_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,4}{0,4} \cdot 287 \cdot 400 \cdot (1 - 0,461)} \] \[ c_1 = \sqrt{7 \cdot 287 \cdot 400 \cdot 0,539} = \sqrt{433140,4} \approx 658,1 \text{ м/с} \] 4. Диаметр выходного сечения \(d_1\). Для нахождения диаметра воспользуемся уравнением неразрывности: \(Q = \rho_1 \cdot f_1 \cdot c_1\). Сначала найдем плотность воздуха на выходе \(\rho_1\) по уравнению состояния: \[ \rho_1 = \frac{p_1}{R \cdot T_1} = \frac{10^5}{287 \cdot 184,4} \approx 1,889 \text{ кг/м}^3 \] Теперь найдем площадь выходного сечения \(f_1\): \[ f_1 = \frac{Q}{\rho_1 \cdot c_1} = \frac{0,535}{1,889 \cdot 658,1} \approx 4,303 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \] Зная площадь, вычислим диаметр \(d_1\): \[ f_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \Rightarrow d_1 = \sqrt{\frac{4 f_1}{\pi}} \] \[ d_1 = \sqrt{\frac{4 \cdot 4,303 \cdot 10^{-4}}{3,1416}} \approx \sqrt{5,479 \cdot 10^{-4}} \approx 0,0234 \text{ м} = 23,4 \text{ мм} \] Ответ: температура на выходе \(T_1 \approx 184,4\) К, расход \(Q \approx 0,535\) кг/с, скорость на выходе \(c_1 \approx 658,1\) м/с, диаметр выходного сечения \(d_1 \approx 23,4\) мм.