Решение: Экзаменационная контрольная работа по математике. Вариант 2

Экзаменационная контрольная работа по математике. Вариант 2. Задание 1. Найдите значение выражения: \( (2\frac{4}{7} - 1.2) \cdot 5\frac{5}{6} \) Решение: 1) \( 2\frac{4}{7} - 1.2 = \frac{18}{7} - \frac{6}{5} = \frac{18 \cdot 5 - 6 \cdot 7}{35} = \frac{90 - 42}{35} = \frac{48}{35} \) 2) \( \frac{48}{35} \cdot 5\frac{5}{6} = \frac{48}{35} \cdot \frac{35}{6} = \frac{48}{6} = 8 \) Ответ: 8. Задание 2. Дано: \( a = 140 \) м, \( b = 60 \) м. Яблони — \( \frac{1}{4} \) площади. Найти площадь под кустарниками и ягодами. Решение: 1) Площадь всего сада: \( S = a \cdot b = 140 \cdot 60 = 8400 \) \( м^2 \). 2) Доля кустарников и ягод: \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \). 3) Площадь под кустарниками: \( 8400 \cdot \frac{3}{4} = 2100 \cdot 3 = 6300 \) \( м^2 \). Ответ: 6300 \( м^2 \). Задание 3. Найдите значение выражения: \( 2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} \) Решение: Используем формулу синуса двойного угла \( 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) \): \( 2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \) Ответ: 0.5. Задание 4. Найдите значение выражения: \( 10 - (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 8} \) Решение: По основному логарифмическому тождеству \( a^{\log_a b} = b \): \( 10 - 8 = 2 \) Ответ: 2. Задание 5. Решить уравнение: \( 5^{x-7} = \frac{1}{125} \) Решение: \( 5^{x-7} = 5^{-3} \) \( x - 7 = -3 \) \( x = 7 - 3 \) \( x = 4 \) Ответ: 4. Задание 6. Решить уравнение: \( \log_2(2x+1) = \log_2 24 - \log_2 8 \) Решение: \( \log_2(2x+1) = \log_2(\frac{24}{8}) \) \( \log_2(2x+1) = \log_2 3 \) \( 2x + 1 = 3 \) \( 2x = 2 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. Задание 7. Найдите значение выражения: \( \frac{2^{3.5} \cdot 3^{5.5}}{6^{4.5}} \) Решение: \( \frac{2^{3.5} \cdot 3^{5.5}}{(2 \cdot 3)^{4.5}} = \frac{2^{3.5} \cdot 3^{5.5}}{2^{4.5} \cdot 3^{4.5}} = 2^{3.5-4.5} \cdot 3^{5.5-4.5} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \) Ответ: 1.5. Задание 8. Решение: 1) Разница в цене: \( 800 - 680 = 120 \) руб. 2) Процент снижения: \( \frac{120}{800} \cdot 100\% = \frac{12}{80} \cdot 100\% = \frac{3}{20} \cdot 100\% = 15\% \) Ответ: 15%. Задание 9. Решить уравнение: \( \log_2(x+1) = 2 \) Решение: \( x + 1 = 2^2 \) \( x + 1 = 4 \) \( x = 3 \) Ответ: 3. Задание 10. Дано: \( \sin\alpha = -\frac{3}{5} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (3-я четверть). Найти \( \sin 2\alpha \). Решение: 1) \( \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \) (в 3-й четверти косинус отрицательный). 2) \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25} = 0.96 \) Ответ: 0.96. Задание 11. Найдите значение выражения: \( \frac{x^{-5} \cdot x^8}{x} \) при \( x = 4 \). Решение: 1) Упростим: \( \frac{x^{-5+8}}{x^1} = \frac{x^3}{x^1} = x^{3-1} = x^2 \) 2) Подставим \( x = 4 \): \( 4^2 = 16 \) Ответ: 16. Задание 12. Найдите значение выражения: \( 2\cos 15^\circ \cdot (\sin 50^\circ \cos 35^\circ - \cos 50^\circ \sin 35^\circ) \) Решение: 1) В скобках формула синуса разности: \( \sin(50^\circ - 35^\circ) = \sin 15^\circ \) 2) Выражение примет вид: \( 2\cos 15^\circ \sin 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5 \) Ответ: 0.5. Задание 13. Упростить: \( (\text{ctg}\alpha : \text{tg}\alpha) \cdot (1 - \cos^2\alpha) \) Решение: 1) \( \frac{\text{ctg}\alpha}{\text{tg}\alpha} = \frac{1/\text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{\text{tg}^2\alpha} = \text{ctg}^2\alpha \) 2) \( 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \) 3) \( \text{ctg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \) Ответ: \( \cos^2\alpha \). Задание 14. Вычислить: \( 3\log_2\frac{1}{8} + 10^{\lg 5} \) Решение: 1) \( \log_2\frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3 \) 2) \( 10^{\lg 5} = 5 \) 3) \( 3 \cdot (-3) + 5 = -9 + 5 = -4 \) Ответ: -4. Задание 15. Решить неравенство: \( 3^{x-5} > 81 \) Решение: \( 3^{x-5} > 3^4 \) Так как основание \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( x - 5 > 4 \) \( x > 9 \) Ответ: \( (9; +\infty) \).