Решение контрольной работы по математике. Вариант 4.

Контрольная работа по математике. Вариант 4. Задание 1. Вычислить: \( 16^{\frac{3}{4}} + 27^{-\frac{1}{3}} \) Решение: \[ 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \] \[ 27^{-\frac{1}{3}} = (3^3)^{-\frac{1}{3}} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \] \[ 8 + \frac{1}{3} = 8\frac{1}{3} \] Ответ: \( 8\frac{1}{3} \) Задание 2. Решение: 1) С 23:50 до 00:00 (конца суток) прошло 10 минут. 2) С 00:00 до 07:50 прошло 7 часов 50 минут. 3) Общее время: 10 мин + 7 ч 50 мин = 8 часов. Ответ: 8 часов. Задание 3. Упростить: \( \sqrt[3]{\frac{a^9}{64}} \) Решение: \[ \sqrt[3]{\frac{a^9}{64}} = \frac{\sqrt[3]{a^9}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{a^{\frac{9}{3}}}{4} = \frac{a^3}{4} \] Ответ: \( \frac{a^3}{4} \) Задание 4. Вычислить: \( \sin 112^\circ \cos 22^\circ - \sin 22^\circ \cos 112^\circ \) Решение: Используем формулу синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \): \[ \sin(112^\circ - 22^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \] Ответ: 1 Задание 5. Решить уравнение: \( (\frac{1}{3})^{x-8} = \frac{1}{9} \) Решение: \[ (\frac{1}{3})^{x-8} = (\frac{1}{3})^2 \] \[ x - 8 = 2 \] \[ x = 10 \] Ответ: 10 Задание 6. Найти значение: \( \frac{\cos 52^\circ \cos 7^\circ + \sin 52^\circ \sin 7^\circ}{\sin 29^\circ \cos 16^\circ + \sin 16^\circ \cos 29^\circ} \) Решение: В числителе формула косинуса разности, в знаменателе — синуса суммы: \[ \frac{\cos(52^\circ - 7^\circ)}{\sin(29^\circ + 16^\circ)} = \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \text{ctg} 45^\circ = 1 \] Ответ: 1 Задание 7. Решить уравнение: \( \log_4(x^2 - 15x) = 2 \) Решение: По определению логарифма: \[ x^2 - 15x = 4^2 \] \[ x^2 - 15x - 16 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 16, x_2 = -1 \] Проверка: оба корня делают выражение под логарифмом положительным. Ответ: -1; 16. Задание 8. Решение: Пусть \( x \) — первоначальная цена (100%). Новая цена: \( 100\% + 16\% = 116\% \), что равно 3480 руб. \[ 1,16x = 3480 \] \[ x = 3480 : 1,16 = 3000 \] Ответ: 3000 рублей. Задание 9. Определение: Синусом угла \( \alpha \) называется ордината (координата \( y \)) точки на единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол \( \alpha \). Знаки синуса: I четверть: + II четверть: + III четверть: - IV четверть: - Задание 10. Упростить: \( \frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \) Решение: Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \] (Использовано \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \)) Ответ: \( \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \) Задание 11. Найти \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi \) (III четверть). Решение: В III четверти косинус отрицательный. \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -0,6 \] Ответ: -0,6 Задание 12. Упростить: \( \cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha - 2\sin \alpha \) Решение: \[ \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2\sin \alpha = \sin \alpha - 2\sin \alpha = -\sin \alpha \] Ответ: \( -\sin \alpha \) Задание 13. Вычислить: \( 4,5 \sin \frac{\pi}{6} + 3 \cos \frac{\pi}{3} \) Решение: \[ 4,5 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = 2,25 + 1,5 = 3,75 \] Ответ: 3,75 Задание 14. Формула двойного аргумента косинуса: \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \] (Также возможны варианты: \( 2\cos^2 \alpha - 1 \) или \( 1 - 2\sin^2 \alpha \)) Задание 15. Упростить: \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha} + \text{ctg} \beta \cdot \text{tg} \beta \) Решение: Так как \( \text{ctg} \beta \cdot \text{tg} \beta = 1 \), а \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha} = \frac{1/\text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{\text{tg}^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha \): \[ \text{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)