Решение задачи по математике

Ниже представлено решение экзаменационной контрольной работы по математике (Вариант 1). Решения оформлены максимально понятно для переписывания в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения: \[ \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{3}{4 + 0,5} \right) \] Решение: 1) Сложим числа в знаменателе: \( 4 + 0,5 = 4,5 \). 2) Подставим в выражение: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4,5} \). 3) Сократим на 3: \( \frac{2}{4,5} \). 4) Избавимся от запятой, умножив числитель и знаменатель на 10: \( \frac{20}{45} \). 5) Сократим дробь на 5: \( \frac{4}{9} \). Ответ: \( \frac{4}{9} \). Задание 2. Задача про орехи. Дано: Цена за 1 кг — 75 руб. Куплено — 4 кг 400 г. Дано денег — 350 руб. Найти: Сдачу. Решение: 1) Переведем вес в килограммы: \( 4 \text{ кг } 400 \text{ г } = 4,4 \text{ кг} \). 2) Найдем стоимость покупки: \( 4,4 \cdot 75 = 330 \text{ (руб)} \). 3) Найдем сдачу: \( 350 - 330 = 20 \text{ (руб)} \). Ответ: 20 рублей. Задание 3. Упростить выражение: \[ \sqrt[3]{\frac{a^9}{27}} \] Решение: Воспользуемся свойством корня из частного и степени: \[ \frac{\sqrt[3]{a^9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{a^{9/3}}{3} = \frac{a^3}{3} \] Ответ: \( \frac{a^3}{3} \). Задание 4. Решить неравенство: \[ 2x^2 - 3x - 2 > 0 \] Решение: 1) Найдем корни уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \): \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2; \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5 \] 2) Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства "больше нуля" являются промежутки по бокам от корней. Ответ: \( (-\infty; -0,5) \cup (2; +\infty) \). Задание 5. Вычислить: \[ \cos 36^\circ \cos 54^\circ - \sin 36^\circ \sin 54^\circ \] Решение: Используем формулу косинуса суммы: \( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta) \). \[ \cos(36^\circ + 54^\circ) = \cos 90^\circ = 0 \] Ответ: 0. Задание 6. Вычислить: \[ \frac{\log_7 16}{\log_7 30 - \log_7 15} \] Решение: 1) В знаменателе используем свойство разности логарифмов: \( \log_7 30 - \log_7 15 = \log_7 \frac{30}{15} = \log_7 2 \). 2) Получаем: \( \frac{\log_7 16}{\log_7 2} \). 3) По формуле перехода к новому основанию: \( \log_2 16 = 4 \). Ответ: 4. Задание 7. Вычислить: \[ 3^{-2} + 2^3 \] Решение: \[ \frac{1}{3^2} + 8 = \frac{1}{9} + 8 = 8\frac{1}{9} \] Ответ: \( 8\frac{1}{9} \). Задание 8. Задача про масло. Дано: Цена — 60 руб. Скидка — 5%. Найти: Цену для пенсионера. Решение: 1) Найдем размер скидки: \( 60 \cdot 0,05 = 3 \text{ (руб)} \). 2) Новая цена: \( 60 - 3 = 57 \text{ (руб)} \). Ответ: 57 рублей. Задание 9. Решить уравнение: \[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \] Решение: (Корни уже найдены в задании 4) \[ D = 25, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = -0,5 \] Ответ: -0,5; 2. Задание 10. Найдите корень уравнения: \[ \frac{9}{x^2 - 16} = 1 \] Решение: 1) ОДЗ: \( x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4 \). 2) \( 9 = x^2 - 16 \) 3) \( x^2 = 25 \) 4) \( x = \pm 5 \) Ответ: -5; 5. Задание 11. Решить уравнение: \[ \log_2(2x + 1) = 4 \] Решение: 1) По определению логарифма: \( 2x + 1 = 2^4 \). 2) \( 2x + 1 = 16 \). 3) \( 2x = 15 \). 4) \( x = 7,5 \). Ответ: 7,5. Задание 12. Найдите \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) и \( \frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi \). Решение: 1) Используем основное тождество: \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \). 2) \( \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \). 3) Так как угол во второй четверти, косинус отрицательный: \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Ответ: \( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \). Задание 13. Запишите основное тригонометрическое тождество: Ответ: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Задание 14. Вычислить: \[ 4 \log_2 16 + 10^{\lg 3} \] Решение: 1) \( \log_2 16 = 4 \), значит \( 4 \cdot 4 = 16 \). 2) По основному логарифмическому тождеству \( 10^{\lg 3} = 3 \). 3) \( 16 + 3 = 19 \). Ответ: 19. Задание 15. Вычислить: \[ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} \] Решение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \). \[ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).