Решение задачи: Найти скорость и ускорение

Вариант 5. Решение задач. Задача 1. Дано: \[ \vec{r} = 2t^3 \vec{i} - 2t^2 \vec{j} + 3 \vec{k} \] Найти: 1) \( \vec{v}(t) \) 2) \( \vec{a}(t) \) Решение: 1) Вектор скорости есть первая производная от радиус-вектора по времени: \[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (2t^3)' \vec{i} - (2t^2)' \vec{j} + (3)' \vec{k} \] \[ \vec{v} = 6t^2 \vec{i} - 4t \vec{j} \] (м/с) 2) Вектор ускорения есть первая производная от вектора скорости по времени: \[ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (6t^2)' \vec{i} - (4t)' \vec{j} \] \[ \vec{a} = 12t \vec{i} - 4 \vec{j} \] (м/с\(^2\)) Задача 2. Дано: \[ s = 5t^2 - 2t \] \[ t = 1 \] с Найти: 1) \( v(t) \); 2) \( a(t) \); 3) \( s, v, a \) при \( t = 1 \) с. Решение: 1) Модуль скорости: \[ v = \frac{ds}{dt} = (5t^2 - 2t)' = 10t - 2 \] (м/с) 2) Модуль ускорения: \[ a = \frac{dv}{dt} = (10t - 2)' = 10 \] (м/с\(^2\)) 3) Подставим \( t = 1 \): \[ s(1) = 5 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 = 3 \] м \[ v(1) = 10 \cdot 1 - 2 = 8 \] м/с \[ a(1) = 10 \] м/с\(^2\) Задача 3. Дано: \[ R = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \] \[ s = 4t^3 - t - 1 \] \[ t = 2 \text{ с} \] Найти: \( v, a_{\tau}, a_n, a \) Решение: Скорость: \( v = s' = 12t^2 - 1 \). При \( t = 2 \): \( v = 12 \cdot 4 - 1 = 47 \) м/с. Касательное ускорение: \( a_{\tau} = v' = 24t \). При \( t = 2 \): \( a_{\tau} = 24 \cdot 2 = 48 \) м/с\(^2\). Нормальное ускорение: \( a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{47^2}{0,2} = \frac{2209}{0,2} = 11045 \) м/с\(^2\). Полное ускорение: \[ a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2} = \sqrt{48^2 + 11045^2} \approx 11045,1 \] м/с\(^2\). Задача 4. Дано: \[ R = 0,3 \text{ м} \] \[ \phi = 4 - 2t + 2t^2 \] \[ t = 2 \text{ с} \] Найти: 1) \( \Delta\phi \); 2) \( \omega \); 3) \( \varepsilon \); 4) \( a_{\tau} \); 5) \( a_n \); 6) \( a \) Решение: 1) Угловое перемещение за 2 секунды: \( \Delta\phi = \phi(2) - \phi(0) = (4 - 2\cdot2 + 2\cdot2^2) - 4 = 8 - 4 = 4 \) рад. 2) Угловая скорость: \( \omega = \phi' = -2 + 4t \). При \( t = 2 \): \( \omega = -2 + 8 = 6 \) рад/с. 3) Угловое ускорение: \( \varepsilon = \omega' = 4 \) рад/с\(^2\). 4) Тангенциальное ускорение: \( a_{\tau} = \varepsilon \cdot R = 4 \cdot 0,3 = 1,2 \) м/с\(^2\). 5) Нормальное ускорение: \( a_n = \omega^2 \cdot R = 6^2 \cdot 0,3 = 36 \cdot 0,3 = 10,8 \) м/с\(^2\). 6) Полное ускорение: \( a = \sqrt{1,2^2 + 10,8^2} = \sqrt{1,44 + 116,64} \approx 10,87 \) м/с\(^2\). Задача 5. Дано: \[ \omega_0 = 0 \] \[ \varepsilon = 0,1 \text{ рад/с}^2 \] \[ t = 3 \text{ с} \] Найти: \( \omega, N \) Решение: Угловая скорость: \( \omega = \omega_0 + \varepsilon t = 0 + 0,1 \cdot 3 = 0,3 \) рад/с. Угол поворота: \( \phi = \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2} = \frac{0,1 \cdot 3^2}{2} = 0,45 \) рад. Число оборотов: \[ N = \frac{\phi}{2\pi} = \frac{0,45}{2 \cdot 3,14} \approx 0,072 \] оборота.