Решение: Реши задачу: Дано решение и чертежь

Контрольная работа по теме: «Подобные треугольники» Вариант 2 Задача 1 Дано: \(PE \parallel NK\) \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\) Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MPE} : S_{MNK}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(MPE\) и \(MNK\). Угол \(M\) — общий. Так как \(PE \parallel NK\), то \(\angle MPE = \angle MNK\) (как соответственные углы при параллельных прямых и секущей \(MN\)). Следовательно, \(\triangle MPE \sim \triangle MNK\) по двум углам (первый признак подобия). 2. Составим отношение сходственных сторон: \[ \frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} = \frac{PE}{NK} = k \] где \(k\) — коэффициент подобия. а) Найдем \(MK\): \[ \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} \] \[ MK = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9 \text{ (см)} \] б) Найдем отношение \(PE : NK\): \[ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Ответ: \(2 : 3\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: \(4 : 9\). Ответ: а) 9; б) \(2:3\); в) \(4:9\). --- Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\). \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\). \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^\circ\). Найти: \(AC\) и \(\angle C\). Решение: 1. Проверим подобие треугольников \(ABC\) и \(MNK\). \(\angle B = \angle N = 70^\circ\). Отношение сторон, образующих эти углы: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) (второй признак подобия) с коэффициентом \(k = 2\). 2. Найдем сторону \(AC\): \[ \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ (см)} \] 3. В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Углу \(C\) соответствует угол \(K\): \[ \angle C = \angle K = 60^\circ \] Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^\circ\). --- Задача 3 Дано: \(AB \cap CD = O\). \(\angle ACO = \angle BDO\). \(AO : OB = 2 : 3\). \(P_{BOD} = 21\) см. Найти: \(P_{ACO}\). Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\). \(\angle ACO = \angle BDO\) (по условию). \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам. 2. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению сходственных сторон: \[ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} \] 3. Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k \] \[ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ P_{ACO} = \frac{21 \cdot 2}{3} = 7 \cdot 2 = 14 \text{ (см)} \] Ответ: 14 см.