Решение: Площадь треугольника ABC по координатам и формуле Герона

Вот решение задачи по нахождению площади треугольника АВС по длине отрезка и формуле Герона. Решение: Для начала нам нужно найти длины всех сторон треугольника АВС. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 1. Найдем длину стороны АВ: Точки А(2,6) и В(1,5). \[ AB = \sqrt{(1 - 2)^2 + (5 - 6)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} \] \[ AB = \sqrt{1 + 1} \] \[ AB = \sqrt{2} \] 2. Найдем длину стороны ВС: Точки В(1,5) и С(6,3). \[ BC = \sqrt{(6 - 1)^2 + (3 - 5)^2} \] \[ BC = \sqrt{(5)^2 + (-2)^2} \] \[ BC = \sqrt{25 + 4} \] \[ BC = \sqrt{29} \] 3. Найдем длину стороны АС: Точки А(2,6) и С(6,3). \[ AC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (3 - 6)^2} \] \[ AC = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \] \[ AC = \sqrt{16 + 9} \] \[ AC = \sqrt{25} \] \[ AC = 5 \] Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника: \( a = BC = \sqrt{29} \) \( b = AC = 5 \) \( c = AB = \sqrt{2} \) Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника. Сначала найдем полупериметр \( p \): \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] \[ p = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} \] Приблизительные значения: \( \sqrt{29} \approx 5.385 \), \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) \[ p \approx \frac{5.385 + 5 + 1.414}{2} \] \[ p \approx \frac{11.799}{2} \] \[ p \approx 5.8995 \] Теперь используем формулу Герона для площади \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] \[ S = \sqrt{\frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} - \sqrt{29}\right) \left(\frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} - 5\right) \left(\frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\right)} \] Упростим выражения в скобках: \[ p - a = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} - \sqrt{29} = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2} - 2\sqrt{29}}{2} = \frac{5 + \sqrt{2} - \sqrt{29}}{2} \] \[ p - b = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} - 5 = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2} - 10}{2} = \frac{\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5}{2} \] \[ p - c = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2}}{2} \] Подставим эти выражения в формулу Герона: \[ S = \sqrt{\frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5 + \sqrt{2} - \sqrt{29}}{2} \cdot \frac{\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5}{2} \cdot \frac{\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2}}{2}} \] \[ S = \frac{1}{4} \sqrt{(\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2})(5 + \sqrt{2} - \sqrt{29})(\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5)(\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2})} \] Для удобства вычислений можно перегруппировать множители, используя формулу разности квадратов \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \): Рассмотрим первые два множителя: \( (\sqrt{29} + (5 + \sqrt{2}))( (5 + \sqrt{2}) - \sqrt{29}) = (5 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{29})^2 \) \( = (25 + 10\sqrt{2} + 2) - 29 = 27 + 10\sqrt{2} - 29 = 10\sqrt{2} - 2 \) Рассмотрим последние два множителя: \( ((\sqrt{29} + 5) - \sqrt{2})((\sqrt{29} + 5) + \sqrt{2}) = (\sqrt{29} + 5)^2 - (\sqrt{2})^2 \) \( = (29 + 10\sqrt{29} + 25) - 2 = 54 + 10\sqrt{29} - 2 = 52 + 10\sqrt{29} \) Теперь перемножим полученные результаты: \( (10\sqrt{2} - 2)(52 + 10\sqrt{29}) \) Это будет довольно громоздко. Есть более простой способ вычисления площади треугольника по координатам вершин, который дает точный результат и может быть использован для проверки. Формула площади треугольника по координатам вершин \( (x_A, y_A) \), \( (x_B, y_B) \), \( (x_C, y_C) \): \[ S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| \] Подставим координаты А(2,6), В(1,5), С(6,3): \[ S = \frac{1}{2} |2(5 - 3) + 1(3 - 6) + 6(6 - 5)| \] \[ S = \frac{1}{2} |2(2) + 1(-3) + 6(1)| \] \[ S = \frac{1}{2} |4 - 3 + 6| \] \[ S = \frac{1}{2} |7| \] \[ S = \frac{7}{2} \] \[ S = 3.5 \] Теперь вернемся к формуле Герона и попробуем вычислить более аккуратно. \[ S^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) \] \[ S^2 = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5 + \sqrt{2} - \sqrt{29}}{2} \cdot \frac{\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5}{2} \cdot \frac{\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2}}{2} \] \[ S^2 = \frac{1}{16} [(\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2})(5 + \sqrt{2} - \sqrt{29})][(\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5)(\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2})] \] Первая пара: \( [(5 + \sqrt{2}) + \sqrt{29}][(5 + \sqrt{2}) - \sqrt{29}] = (5 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{29})^2 \) \( = (25 + 10\sqrt{2} + 2) - 29 = 27 + 10\sqrt{2} - 29 = 10\sqrt{2} - 2 \) Вторая пара: \( [(\sqrt{29} - 5) + \sqrt{2}][(\sqrt{29} + 5) - \sqrt{2}] \) Здесь нужно быть внимательнее. \( [(\sqrt{29} + \sqrt{2}) - 5][(\sqrt{29} - \sqrt{2}) + 5] \) Это не совсем \( (x+y)(x-y) \). Перегруппируем так: \( [(\sqrt{29} + 5) - \sqrt{2}][(\sqrt{29} - 5) + \sqrt{2}] \) Это тоже не очень удобно. Давайте перепишем множители в \( S^2 \) так: \( (p - a) = \frac{5 + \sqrt{2} - \sqrt{29}}{2} \) \( (p - b) = \frac{\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5}{2} \) \( (p - c) = \frac{\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2}}{2} \) \( p = \frac{\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2}}{2} \) Тогда \( 16 S^2 = (\sqrt{29} + 5 + \sqrt{2})(5 + \sqrt{2} - \sqrt{29})(\sqrt{29} + \sqrt{2} - 5)(\sqrt{29} + 5 - \sqrt{2}) \) Сгруппируем: \( [(\sqrt{29} + (5 + \sqrt{2}))][(-(5 + \sqrt{2}) + \sqrt{29})] \) - это не то. \( [(\sqrt{29} + (5 + \sqrt{2}))][((5 + \sqrt{2}) - \sqrt{29})] \) - это \( (5 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{29})^2 = 27 + 10\sqrt{2} - 29 = 10\sqrt{2} - 2 \) Вторая пара: \( [(\sqrt{29} + \sqrt{2}) - 5][(\sqrt{29} + 5) - \sqrt{2}] \) Это не \( (x-y)(x+y) \). Давайте используем более общую формулу для \( 16S^2 \): \( 16S^2 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 \) Это также известно как формула Герона в другой форме. \( a^2 = (\sqrt{29})^2 = 29 \) \( b^2 = 5^2 = 25 \) \( c^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \) \( 16S^2 = 2(29)(25) + 2(25)(2) + 2(2)(29) - (29)^2 - (25)^2 - (2)^2 \) \( 16S^2 = 2(725) + 2(50) + 2(58) - 841 - 625 - 4 \) \( 16S^2 = 1450 + 100 + 116 - 841 - 625 - 4 \) \( 16S^2 = 1666 - 1470 \) \( 16S^2 = 196 \) \( S^2 = \frac{196}{16} \) \( S^2 = \frac{49}{4} \) \( S = \sqrt{\frac{49}{4}} \) \( S = \frac{7}{2} \) \( S = 3.5 \) Ответ: Площадь треугольника АВС, найденная по длинам отрезков и формуле Герона, составляет \( 3.5 \) квадратных единиц.