8 класс алгебра 2 четверть
2 ВАРИАНТ
1. Найдите корни квадратного трехчлена \( -x^2 + 7x - 12 \)
Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:
\[ -x^2 + 7x - 12 = 0 \]Умножим обе части уравнения на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным:
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
Здесь \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 12 \).
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \] \[ D = 49 - 48 \] \[ D = 1 \]Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]Ответ: Корни квадратного трехчлена: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 3 \).
2. Решите уравнение, выделив полный квадрат двучлена из трехчлена \( x^2 - 4x - 5 \)
Дано уравнение: \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
Чтобы выделить полный квадрат, перенесем свободный член в правую часть:
\[ x^2 - 4x = 5 \]Для того чтобы выражение \( x^2 - 4x \) стало частью полного квадрата \( (x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2 \), нам нужно добавить к нему \( \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4 \). Добавим 4 к обеим частям уравнения:
\[ x^2 - 4x + 4 = 5 + 4 \]Теперь левая часть является полным квадратом:
\[ (x - 2)^2 = 9 \]Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\[ x - 2 = \pm\sqrt{9} \] \[ x - 2 = \pm 3 \]Найдем два возможных значения для \( x \):
\[ x - 2 = 3 \implies x_1 = 3 + 2 = 5 \] \[ x - 2 = -3 \implies x_2 = -3 + 2 = -1 \]Ответ: Корни уравнения: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = -1 \).
3. Разложите квадратный трехчлен на множители: \( 5x^2 + 8x + 3 \)
Для разложения квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \) на множители по формуле \( a(x - x_1)(x - x_2) \), где \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни трехчлена, сначала найдем корни уравнения \( 5x^2 + 8x + 3 = 0 \).
Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
Здесь \( a = 5 \), \( b = 8 \), \( c = 3 \).
\[ D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 \] \[ D = 64 - 60 \] \[ D = 4 \]Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\[ x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} \] \[ x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]Теперь разложим трехчлен на множители:
\[ 5x^2 + 8x + 3 = 5 \left(x - \left(-\frac{3}{5}\right)\right) (x - (-1)) \] \[ 5x^2 + 8x + 3 = 5 \left(x + \frac{3}{5}\right) (x + 1) \]Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 5 в первую скобку:
\[ 5x^2 + 8x + 3 = (5x + 3) (x + 1) \]Ответ: Разложение на множители: \( (5x + 3)(x + 1) \).
4. Решите уравнение \( x^4 - 9x^2 + 8 = 0 \)
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = y^2 \).
Подставим в уравнение:
\[ y^2 - 9y + 8 = 0 \]Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:
Здесь \( a = 1 \), \( b = -9 \), \( c = 8 \).
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 \] \[ D = 81 - 32 \] \[ D = 49 \]Найдем корни для \( y \):
\[ y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]Теперь вернемся к переменной \( x \), используя замену \( y = x^2 \):
Случай 1: \( y_1 = 8 \)
\[ x^2 = 8 \] \[ x = \pm\sqrt{8} \] \[ x = \pm\sqrt{4 \cdot 2} \] \[ x = \pm 2\sqrt{2} \]Случай 2: \( y_2 = 1 \)
\[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm\sqrt{1} \] \[ x = \pm 1 \]Ответ: Корни уравнения: \( x_1 = 2\sqrt{2} \), \( x_2 = -2\sqrt{2} \), \( x_3 = 1 \), \( x_4 = -1 \).
5. Решите уравнение \( x^2 - 5|x| + 4 = 0 \)
Это уравнение содержит модуль. Заметим, что \( x^2 = |x|^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ |x|^2 - 5|x| + 4 = 0 \]Сделаем замену переменной. Пусть \( t = |x| \). Так как \( |x| \ge 0 \), то \( t \ge 0 \).
Подставим в уравнение:
\[ t^2 - 5t + 4 = 0 \]Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:
Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 4 \).
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \] \[ D = 25 - 16 \] \[ D = 9 \]Найдем корни для \( t \):
\[ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]Оба значения \( t \) положительны, поэтому они подходят.
Теперь вернемся к переменной \( x \), используя замену \( t = |x| \):
Случай 1: \( t_1 = 4 \)
\[ |x| = 4 \] \[ x = \pm 4 \]Случай 2: \( t_2 = 1 \)
\[ |x| = 1 \] \[ x = \pm 1 \]Ответ: Корни уравнения: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -4 \), \( x_3 = 1 \), \( x_4 = -1 \).