8 класс алгебра 2 четверть
2 ВАРИАНТ
1. Найдите корни квадратного трехчлена \( -x^2 + 7x - 12 \)
Приравняем трехчлен к нулю:
\[ -x^2 + 7x - 12 = 0 \] \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]Найдем дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]Найдем корни:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]Ответ: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 3 \).
2. Решите уравнение, выделив полный квадрат двучлена из трехчлена \( x^2 - 4x - 5 \)
Дано уравнение:
\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]Перенесем свободный член и выделим полный квадрат:
\[ x^2 - 4x = 5 \] \[ x^2 - 4x + 4 = 5 + 4 \] \[ (x - 2)^2 = 9 \]Извлечем квадратный корень:
\[ x - 2 = \pm 3 \]Найдем корни:
\[ x_1 - 2 = 3 \implies x_1 = 5 \] \[ x_2 - 2 = -3 \implies x_2 = -1 \]Ответ: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = -1 \).
3. Разложите квадратный трехчлен на множители: \( 5x^2 + 8x + 3 \)
Найдем корни уравнения \( 5x^2 + 8x + 3 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\[ D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 \]Найдем корни:
\[ x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} \] \[ x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]Разложим на множители по формуле \( a(x - x_1)(x - x_2) \):
\[ 5 \left(x - \left(-\frac{3}{5}\right)\right) (x - (-1)) = 5 \left(x + \frac{3}{5}\right) (x + 1) = (5x + 3)(x + 1) \]Ответ: \( (5x + 3)(x + 1) \).
4. Решите уравнение \( x^4 - 9x^2 + 8 = 0 \)
Сделаем замену \( y = x^2 \), \( y \ge 0 \):
\[ y^2 - 9y + 8 = 0 \]Найдем дискриминант:
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]Найдем корни для \( y \):
\[ y_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ y_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]Вернемся к \( x \):
\[ x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} \implies x = \pm 2\sqrt{2} \] \[ x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x = \pm 1 \]Ответ: \( x_1 = 2\sqrt{2} \), \( x_2 = -2\sqrt{2} \), \( x_3 = 1 \), \( x_4 = -1 \).
5. Решите уравнение \( x^2 - 5|x| + 4 = 0 \)
Перепишем уравнение, используя \( x^2 = |x|^2 \):
\[ |x|^2 - 5|x| + 4 = 0 \]Сделаем замену \( t = |x| \), \( t \ge 0 \):
\[ t^2 - 5t + 4 = 0 \]Найдем дискриминант:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]Найдем корни для \( t \):
\[ t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]Вернемся к \( x \):
\[ |x| = 4 \implies x = \pm 4 \] \[ |x| = 1 \implies x = \pm 1 \]Ответ: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -4 \), \( x_3 = 1 \), \( x_4 = -1 \).