Решение задачи: Прямоугольник и красная граница

Пусть \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника в клетках. По условию задачи \( a \le 50 \) и \( b \le 50 \). Общее количество клеток в прямоугольнике равно \( S = a \cdot b \). Клетки, содержащие красный отрезок, — это те клетки, которые примыкают к границе прямоугольника (периметру). Найдем их количество. Вдоль сторон длиной \( a \) расположены \( 2a \) клеток, а вдоль сторон длиной \( b \) — \( 2b \) клеток. При этом угловые клетки мы посчитали дважды, поэтому их нужно вычесть. Количество граничных клеток \( N \) вычисляется по формуле: \[ N = 2a + 2b - 4 \] По условию задачи количество граничных клеток составляет 22% от общего числа клеток: \[ N = 0,22 \cdot S \] \[ 2a + 2b - 4 = 0,22 \cdot ab \] Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[ 200a + 200b - 400 = 22ab \] Разделим на 2: \[ 100a + 100b - 200 = 11ab \] Преобразуем уравнение для выделения целых частей. Выразим \( b \) через \( a \): \[ 100a - 200 = 11ab - 100b \] \[ 100a - 200 = b(11a - 100) \] \[ b = \frac{100a - 200}{11a - 100} \] Чтобы выделить целую часть, представим числитель в удобном виде: \[ b = \frac{\frac{100}{11}(11a - 100) + \frac{10000}{11} - 200}{11a - 100} \] \[ b = \frac{100}{11} + \frac{10000 - 2200}{11(11a - 100)} \] \[ b = \frac{100}{11} + \frac{7800}{11(11a - 100)} \] Умножим на 11, чтобы работать с целыми числами: \[ 11b = 100 + \frac{7800}{11a - 100} \] Так как \( a \) и \( b \) — целые числа, то \( (11a - 100) \) должно быть делителем числа 7800. Также помним, что \( a \le 50 \) и \( b \le 50 \). Если \( a = 50 \): \[ 11b = 100 + \frac{7800}{11 \cdot 50 - 100} = 100 + \frac{7800}{450} = 100 + 17,33... \] (не подходит) Проверим значения \( a \), при которых \( 11a - 100 \) является делителем 7800. Методом подбора или перебора делителей в диапазоне \( a \le 50 \): Если \( a = 20 \): \[ 11b = 100 + \frac{7800}{11 \cdot 20 - 100} = 100 + \frac{7800}{120} = 100 + 65 = 165 \] \[ b = 165 / 11 = 15 \] Проверим: \( a = 20 \), \( b = 15 \). Оба числа не превосходят 50. Вычислим общее количество клеток: \[ S = a \cdot b = 20 \cdot 15 = 300 \] Проверка условия: Количество граничных клеток: \( 2 \cdot 20 + 2 \cdot 15 - 4 = 40 + 30 - 4 = 66 \). Процент граничных клеток: \( \frac{66}{300} = 0,22 \), что составляет 22%. Ответ: 300 клеток.