Решение задачи: Угол между касательной и хордой в треугольнике

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, связанных с окружностью. 1. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной \( AN \) и хордой \( AC \) равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Следовательно: \[ \angle ABC = \angle NAC = 58^\circ \] 2. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Обозначим углы при вершинах \( A \) и \( C \) как \( \alpha \) и \( \gamma \) соответственно: \[ \angle CAB + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ \] \[ \alpha + \gamma + 58^\circ = 180^\circ \] \[ \alpha + \gamma = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \] 3. Пусть биссектрисы углов \( \angle CAB \) и \( \angle ACB \) пересекаются в точке \( I \). Биссектрисы делят углы пополам, поэтому в треугольнике \( AIC \) углы при основании равны \( \frac{\alpha}{2} \) и \( \frac{\gamma}{2} \). 4. Найдем угол \( \angle AIC \) в треугольнике \( AIC \): \[ \angle AIC = 180^\circ - \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} \right) \] \[ \angle AIC = 180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2} \] Подставим значение \( \alpha + \gamma = 122^\circ \): \[ \angle AIC = 180^\circ - \frac{122^\circ}{2} = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ \] 5. Угол между биссектрисами может быть тупым (\( 119^\circ \)) или острым. Смежный с ним угол будет острым: \[ \angle_{острый} = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ \] По условию задачи необходимо найти градусную меру именно острого угла. Ответ: 61.