Решение задачи 439: Магнитная индукция и плотность энергии поля

Задача №439 Дано: \(R = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}\) \(N = 1000\) \(I = 5,0 \text{ А}\) \(h = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}\) \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}\) \(\mu = 1\) (для воздуха) _________________ Найти: \(w\) Решение: 1. Магнитная индукция \(B\) на оси кольца с током (состоящего из \(N\) витков) на расстоянии \(h\) от его центра определяется по формуле: \[B = \frac{\mu \mu_0 N I R^2}{2(R^2 + h^2)^{3/2}}\] 2. Объемная плотность энергии магнитного поля \(w\) в вакууме (или воздухе) рассчитывается через индукцию \(B\) следующим образом: \[w = \frac{B^2}{2 \mu_0}\] 3. Подставим выражение для \(B\) в формулу плотности энергии: \[w = \frac{1}{2 \mu_0} \cdot \left( \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + h^2)^{3/2}} \right)^2 = \frac{\mu_0 N^2 I^2 R^4}{8(R^2 + h^2)^3}\] 4. Вычислим вспомогательную величину: \[R^2 + h^2 = 0,3^2 + 0,4^2 = 0,09 + 0,16 = 0,25 \text{ м}^2\] \[(R^2 + h^2)^3 = (0,25)^3 = 0,015625 \text{ м}^6\] 5. Произведем итоговый расчет: \[w = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1000^2 \cdot 5^2 \cdot 0,3^4}{8 \cdot 0,015625}\] \[w = \frac{4 \cdot 3,14 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \cdot 25 \cdot 0,0081}{0,125}\] \[w = \frac{3,14 \cdot 10^{-1} \cdot 25 \cdot 0,0081}{0,03125} \approx 0,50868 \text{ Дж/м}^3\] Округляя до значимых цифр, получаем: \[w \approx 0,51 \text{ Дж/м}^3\] Ответ: \(w \approx 0,51 \text{ Дж/м}^3\). Схема для тетради: 1. Изобразите кольцо в виде сплюснутого горизонтального эллипса. 2. Проведите через центр эллипса вертикальную ось (пунктиром). 3. На оси поставьте точку \(O\) (центр) и точку \(A\) выше центра на расстоянии \(h\). 4. От центра \(O\) вправо проведите радиус \(R\) к краю кольца. 5. Соедините край кольца с точкой \(A\) сплошной линией. Получится прямоугольный треугольник с катетами \(R\), \(h\) и гипотенузой \(r = \sqrt{R^2 + h^2}\). 6. В точке \(A\) нарисуйте вектор \(\vec{B}\), направленный вертикально вверх вдоль оси. 7. Рядом с кольцом укажите направление тока \(I\) стрелкой на самом эллипсе.