Решение несобственного интеграла ∫dn/(4n+5)^(3/4)

Задание: Вычислить несобственный интеграл. Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся определением несобственного интеграла через предел и правилом интегрирования степенной функции. \[ I = \int_{1}^{\infty} \frac{dn}{(4n+5)^{3/4}} = \lim_{A \to \infty} \int_{1}^{A} (4n+5)^{-3/4} dn \] Для нахождения первообразной внесем выражение под знак дифференциала: \( dn = \frac{1}{4} d(4n+5) \). \[ I = \lim_{A \to \infty} \frac{1}{4} \int_{1}^{A} (4n+5)^{-3/4} d(4n+5) \] Применим формулу \(\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}\): \[ I = \lim_{A \to \infty} \left[ \frac{1}{4} \cdot \frac{(4n+5)^{-3/4 + 1}}{-3/4 + 1} \right]_{1}^{A} \] \[ I = \lim_{A \to \infty} \left[ \frac{1}{4} \cdot \frac{(4n+5)^{1/4}}{1/4} \right]_{1}^{A} \] Сокращаем дробь на \( \frac{1}{4} \): \[ I = \lim_{A \to \infty} \left[ (4n+5)^{1/4} \right]_{1}^{A} \] Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: \[ I = \lim_{A \to \infty} \left( (4A+5)^{1/4} - (4 \cdot 1 + 5)^{1/4} \right) \] \[ I = \lim_{A \to \infty} \left( \sqrt[4]{4A+5} - \sqrt[4]{9} \right) \] Так как при \( A \to \infty \) выражение \( \sqrt[4]{4A+5} \) стремится к бесконечности, то: \[ I = \infty - \sqrt[4]{9} = \infty \] Ответ: Интеграл расходится (равен бесконечности).