1. Доказать, что треугольники подобны
Задача 10
Дано:
Треугольник \(AMK\): \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle M = 48^\circ\)
Треугольник \(BRC\): \(\angle B = 45^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\)
Доказать: \(\triangle AMK \sim \triangle BRC\)
Решение:
Для того чтобы доказать подобие двух треугольников по первому признаку подобия (по двум углам), необходимо, чтобы два угла одного треугольника были равны двум углам другого треугольника.
1. Найдем третий угол в \(\triangle AMK\):
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
\[ \angle K = 180^\circ - \angle A - \angle M \]
\[ \angle K = 180^\circ - 75^\circ - 48^\circ \]
\[ \angle K = 180^\circ - 123^\circ \]
\[ \angle K = 57^\circ \]
2. Найдем третий угол в \(\triangle BRC\):
\[ \angle R = 180^\circ - \angle B - \angle C \]
\[ \angle R = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ \]
\[ \angle R = 180^\circ - 105^\circ \]
\[ \angle R = 75^\circ \]
3. Сравним углы двух треугольников:
В \(\triangle AMK\) углы: \(75^\circ, 48^\circ, 57^\circ\).
В \(\triangle BRC\) углы: \(45^\circ, 60^\circ, 75^\circ\).
Мы видим, что \(\angle A = 75^\circ\) в \(\triangle AMK\) и \(\angle R = 75^\circ\) в \(\triangle BRC\).
Однако, других равных углов нет (\(48^\circ \neq 45^\circ\), \(48^\circ \neq 60^\circ\), \(57^\circ \neq 45^\circ\), \(57^\circ \neq 60^\circ\)).
Вывод: Так как только один угол одного треугольника равен одному углу другого треугольника, а для подобия по первому признаку необходимо равенство двух углов, то треугольники \(\triangle AMK\) и \(\triangle BRC\) не являются подобными.
Примечание: Возможно, в условии задачи допущена опечатка в значениях углов.
Задача 3
Дано:
Треугольник \(PME\): \(PM = 32\), \(ME = 24\)
Треугольник \(DFN\): \(DF = 4\), \(FN = 3\)
Угол \(\angle M\) в \(\triangle PME\) и угол \(\angle F\) в \(\triangle DFN\) являются прямыми (\(90^\circ\)). (Предполагаем, что \(PM\) и \(ME\) - катеты, а \(DF\) и \(FN\) - катеты, так как они прилежат к углам, которые выглядят как прямые на рисунке).
Доказать: \(\triangle PME \sim \triangle DFN\)
Решение:
Для того чтобы доказать подобие двух прямоугольных треугольников, достаточно, чтобы катеты одного треугольника были пропорциональны катетам другого треугольника.
1. Сравним углы:
У нас дано, что \(\angle M = 90^\circ\) в \(\triangle PME\) и \(\angle F = 90^\circ\) в \(\triangle DFN\).
Значит, \(\angle M = \angle F\).
2. Проверим пропорциональность катетов:
Катеты в \(\triangle PME\) это \(PM\) и \(ME\).
Катеты в \(\triangle DFN\) это \(DF\) и \(FN\).
Составим отношения катетов:
\[ \frac{PM}{DF} = \frac{32}{4} = 8 \]
\[ \frac{ME}{FN} = \frac{24}{3} = 8 \]
Так как \(\frac{PM}{DF} = \frac{ME}{FN} = 8\), то катеты пропорциональны.
Вывод: Треугольники \(\triangle PME\) и \(\triangle DFN\) подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), так как \(\angle M = \angle F = 90^\circ\) и прилежащие к этим углам стороны пропорциональны.
Коэффициент подобия \(k = 8\).