Емкость сферического конденсатора: Решение

Емкость сферического конденсатора Для начала, давайте разберемся, что такое конденсатор и что такое емкость. Конденсатор — это устройство, предназначенное для накопления электрического заряда и энергии электрического поля. Он состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком (изолятором). Электрическая емкость (или просто емкость) — это физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрический заряд. Она определяется как отношение заряда, накопленного на проводнике, к разности потенциалов между ним и другим проводником (или бесконечностью). Формула для емкости в общем виде: \[ C = \frac{Q}{U} \] где: * \( C \) — электрическая емкость (измеряется в фарадах, Ф); * \( Q \) — электрический заряд, накопленный на одной из обкладок (измеряется в кулонах, Кл); * \( U \) — разность потенциалов (напряжение) между обкладками (измеряется в вольтах, В). Теперь перейдем к сферическому конденсатору. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических (имеющих общий центр) проводящих сфер. Пусть радиус внутренней сферы будет \( R_1 \), а радиус внешней сферы — \( R_2 \). Пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon \). Для того чтобы найти емкость сферического конденсатора, нам нужно: 1. Найти электрическое поле между обкладками. 2. Найти разность потенциалов между обкладками. 3. Подставить полученные значения в общую формулу для емкости. Шаг 1: Находим электрическое поле между обкладками. Предположим, что на внутренней сфере находится заряд \( +Q \), а на внешней сфере — заряд \( -Q \). Для нахождения электрического поля воспользуемся теоремой Гаусса. Выберем в качестве гауссовой поверхности концентрическую сферу радиусом \( r \), где \( R_1 < r < R_2 \). По теореме Гаусса: \[ \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0 \varepsilon} \] где: * \( \vec{E} \) — вектор напряженности электрического поля; * \( d\vec{S} \) — вектор элемента площади; * \( Q_{вн} \) — заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности; * \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), \( \varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \); * \( \varepsilon \) — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками. В нашем случае, электрическое поле радиально направлено, и его модуль одинаков на любой точке гауссовой поверхности. Поэтому: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon} \] Отсюда напряженность электрического поля: \[ E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} \] Шаг 2: Находим разность потенциалов между обкладками. Разность потенциалов \( U \) между обкладками — это работа, которую совершает электрическое поле при перемещении единичного положительного заряда от одной обкладки к другой. Или, что то же самое, интеграл от напряженности электрического поля по пути от внешней сферы к внутренней (или наоборот). \[ U = \varphi_1 - \varphi_2 = - \int_{R_2}^{R_1} \vec{E} \cdot d\vec{l} \] Поскольку поле радиальное, а путь мы выбираем тоже радиальный (от \( R_2 \) к \( R_1 \)), то \( \vec{E} \cdot d\vec{l} = E dr \). \[ U = - \int_{R_2}^{R_1} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} dr \] Вынесем константы за знак интеграла: \[ U = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \int_{R_2}^{R_1} \frac{1}{r^2} dr \] Интеграл от \( \frac{1}{r^2} \) равен \( -\frac{1}{r} \): \[ U = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_2}^{R_1} \] \[ U = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \left( -\frac{1}{R_1} - \left(-\frac{1}{R_2}\right) \right) \] \[ U = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \left( -\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \] \[ U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \] Приведем к общему знаменателю: \[ U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \] Шаг 3: Подставляем полученные значения в общую формулу для емкости. \[ C = \frac{Q}{U} \] Подставим выражение для \( U \): \[ C = \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}} \] Сокращаем \( Q \): \[ C = \frac{1}{\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}} \] \[ C = 4\pi \varepsilon_0 \varepsilon \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} \] Это и есть формула для емкости сферического конденсатора. Важные моменты: * Если пространство между сферами — вакуум или воздух, то \( \varepsilon \approx 1 \). * Если внешняя сфера удалена на бесконечность (то есть \( R_2 \to \infty \)), то мы получаем формулу для емкости уединенной сферы: \[ C = 4\pi \varepsilon_0 \varepsilon R_1 \] (поскольку \( \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} = \frac{R_1}{\frac{R_2}{R_2} - \frac{R_1}{R_2}} = \frac{R_1}{1 - \frac{R_1}{R_2}} \). При \( R_2 \to \infty \), \( \frac{R_1}{R_2} \to 0 \), и выражение становится \( R_1 \)). Пример задачи: Найти емкость сферического конденсатора, если радиус внутренней сферы \( R_1 = 10 \, \text{см} \), радиус внешней сферы \( R_2 = 12 \, \text{см} \), а пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon = 5 \). Дано: \( R_1 = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} \) \( R_2 = 12 \, \text{см} = 0.12 \, \text{м} \) \( \varepsilon = 5 \) \( \varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \) Найти: \( C \) Решение: Используем формулу для емкости сферического конденсатора: \[ C = 4\pi \varepsilon_0 \varepsilon \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} \] Подставим значения: \[ C = 4 \cdot 3.14 \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м}) \cdot 5 \cdot \frac{(0.1 \, \text{м}) \cdot (0.12 \, \text{м})}{(0.12 \, \text{м}) - (0.1 \, \text{м})} \] \[ C = 4 \cdot 3.14 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 5 \cdot \frac{0.012}{0.02} \] \[ C = 4 \cdot 3.14 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 5 \cdot 0.6 \] \[ C = 12.56 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \] \[ C = 111.156 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \] \[ C = 333.468 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф} \] \[ C \approx 333.5 \, \text{пФ} \] Ответ: Емкость сферического конденсатора составляет примерно \( 333.5 \, \text{пФ} \) (пикофарад).