Решение задач: Законы Кирхгофа и энергия магнитного взаимодействия

Законы Кирхгофа — это два основных правила, которые позволяют анализировать электрические цепи, то есть рассчитывать токи и напряжения в различных участках цепи. Эти законы были сформулированы немецким физиком Густавом Кирхгофом в 1845 году. Они являются следствием законов сохранения заряда и энергии.

Первый закон Кирхгофа (Закон токов или Закон узлов)

Первый закон Кирхгофа гласит: Сумма токов, входящих в любой узел электрической цепи, равна сумме токов, выходящих из этого узла. Или, другими словами: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Узел — это точка в электрической цепи, где соединяются три или более проводника. Математически это можно записать так: \[\sum I_{входящие} = \sum I_{выходящие}\] или \[\sum I = 0\] (при этом токи, входящие в узел, обычно берутся со знаком "плюс", а выходящие — со знаком "минус", или наоборот, главное — соблюдать одно правило для всех токов в узле).

Объяснение

Этот закон является следствием закона сохранения электрического заряда. Заряд не может накапливаться в узле или исчезать из него. Сколько заряда пришло в узел за определённое время, столько же должно из него уйти. Ток — это скорость движения заряда. Поэтому, если в узел входит определённое количество заряда в секунду, то такое же количество заряда должно из него выходить в секунду.

Пример

Представим узел, в который входят токи \(I_1\) и \(I_2\), а выходят токи \(I_3\) и \(I_4\). Согласно первому закону Кирхгофа: \[I_1 + I_2 = I_3 + I_4\] Если, например, \(I_1 = 3\) А, \(I_2 = 2\) А, \(I_3 = 1\) А, то \(I_4\) будет: \[3 \text{ А} + 2 \text{ А} = 1 \text{ А} + I_4\] \[5 \text{ А} = 1 \text{ А} + I_4\] \[I_4 = 5 \text{ А} - 1 \text{ А}\] \[I_4 = 4 \text{ А}\]

Второй закон Кирхгофа (Закон напряжений или Закон контуров)

Второй закон Кирхгофа гласит: В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений на всех элементах этого контура равна алгебраической сумме ЭДС (электродвижущих сил), действующих в этом контуре. Или, другими словами: Алгебраическая сумма всех напряжений (падений напряжений на резисторах и ЭДС источников) в любом замкнутом контуре электрической цепи равна нулю. Контур — это любой замкнутый путь в электрической цепи. Математически это можно записать так: \[\sum U = \sum \mathcal{E}\] или \[\sum U_{падения} - \sum \mathcal{E} = 0\] или \[\sum U_{падения} + \sum U_{источников} = 0\] (где \(U_{источников}\) — это ЭДС источников, взятые со знаком "минус", если мы движемся от плюса к минусу источника, и со знаком "плюс", если движемся от минуса к плюсу).

Объяснение

Этот закон является следствием закона сохранения энергии. Когда заряд движется по замкнутому контуру и возвращается в исходную точку, его потенциальная энергия не изменяется. Это означает, что вся энергия, полученная зарядом от источников ЭДС, должна быть рассеяна (преобразована в тепло или другую форму энергии) на резисторах и других элементах цепи.

Правила знаков для второго закона Кирхгофа

Чтобы правильно применять второй закон Кирхгофа, нужно выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против) и придерживаться следующих правил: 1. Для падений напряжения на резисторах (\(U = I \cdot R\)): * Если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения \(I \cdot R\) берётся со знаком "плюс". * Если направление тока через резистор противоположно направлению обхода контура, то падение напряжения \(I \cdot R\) берётся со знаком "минус". 2. Для ЭДС источников (\(\mathcal{E}\)): * Если при обходе контура мы движемся от отрицательного полюса источника к положительному (то есть "поднимаемся" по потенциалу), то ЭДС берётся со знаком "плюс". * Если при обходе контура мы движемся от положительного полюса источника к отрицательному (то есть "опускаемся" по потенциалу), то ЭДС берётся со знаком "минус".

Пример

Представим простой контур с источником ЭДС \(\mathcal{E}\) и двумя резисторами \(R_1\) и \(R_2\), по которым течёт ток \(I\). Выберем направление обхода по часовой стрелке. Если ток \(I\) течёт по часовой стрелке: \[\mathcal{E} - I \cdot R_1 - I \cdot R_2 = 0\] или \[\mathcal{E} = I \cdot R_1 + I \cdot R_2\] \[\mathcal{E} = I \cdot (R_1 + R_2)\] Это, по сути, закон Ома для полной цепи.

Применение законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа используются для решения сложных электрических цепей, где простой закон Ома уже не справляется. Алгоритм решения обычно такой: 1. Обозначить все узлы и контуры в цепи. 2. Присвоить направления токам в каждой ветви (если неизвестны, можно выбрать произвольно, знак результата покажет истинное направление). 3. Составить уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов (кроме одного, так как последнее уравнение будет линейно зависимым). 4. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. 5. Решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных токов. Законы Кирхгофа являются фундаментальными инструментами в электротехнике и электронике, позволяя анализировать и проектировать практически любые электрические схемы.