schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи Коши для модели Мальтуса
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Где здесь фактор риска, а где источник риска. Установи соответствие Реши задачу: Вставьте пропущенные термины (по порядку, через запятую): Модель Леонтьева - это замкнутая модель ..., которая описывает экономику с ...коэффициентами производства. Реши задачу: Запишите простейшую популяционную модель Мальтуса в виде решения задачи Коши (обозначьте численность популяции х(t), начальную численность х0, коэффициент прироста e)
lightbulbКраткий ответ
Решение задачи Коши для модели Мальтуса – экспоненциальная функция, описывающая рост популяции. Численность популяции в любой момент времени равна начальной численности, умноженной на экспоненту.
Подробное решение
Для записи решения задачи Коши для простейшей популяции Мальтуса в тетрадь, необходимо сначала составить дифференциальное уравнение, а затем привести его решение.
1. Постановка задачи Коши:
Дифференциальное уравнение описывает скорость изменения численности популяции, которая пропорциональна текущей численности с коэффициентом прироста \( e \).
\[ \frac{dx}{dt} = e \cdot x(t) \]
При начальном условии:
\[ x(0) = x_0 \]
2. Решение задачи Коши:
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение представляет собой экспоненциальную функцию:
\[ x(t) = x_0 \cdot \exp(e \cdot t) \]
Или в более привычной записи:
\[ x(t) = x_0 \cdot e^{e \cdot t} \]
Где:
\( x(t) \) — численность популяции в момент времени \( t \);
\( x_0 \) — начальная численность популяции;
\( e \) — коэффициент прироста (в данной задаче используется как параметр, а не основание натурального логарифма, хотя математически они связаны в итоговой формуле).
Эта модель показывает неограниченный рост популяции в геометрической прогрессии, что в реальности ограничивается ресурсами среды. В отечественной науке подобные модели используются для анализа демографических процессов и биологической безопасности.