Решение задачи: Геометрические характеристики составного сечения

Ниже представлено пошаговое решение задачи по определению геометрических характеристик составного сечения. 1. Определение характеристик стандартных профилей по ГОСТ Для расчетов переведем размеры в сантиметры. Элемент 1: Лист \( 160 \times 8 \) мм. Размеры: \( h_1 = 16 \) см, \( b_1 = 0.8 \) см. Площадь: \( A_1 = h_1 \cdot b_1 = 16 \cdot 0.8 = 12.8 \) \( см^2 \). Собственные моменты инерции: \[ J_{x1} = \frac{b_1 \cdot h_1^3}{12} = \frac{0.8 \cdot 16^3}{12} = 273.07 \text{ см}^4 \] \[ J_{y1} = \frac{h_1 \cdot b_1^3}{12} = \frac{16 \cdot 0.8^3}{12} = 0.68 \text{ см}^4 \] Элемент 2: Швеллер №10 (ГОСТ 8240-97). Площадь: \( A_2 = 10.9 \) \( см^2 \). Размеры: высота \( h = 10 \) см, ширина полки \( b = 4.6 \) см. Координата центра тяжести: \( z_0 = 1.44 \) см. Моменты инерции: \( J_{x2} = 174 \) \( см^4 \), \( J_{y2} = 20.4 \) \( см^4 \). Элемент 3: Уголок равнополочный \( 100 \times 12 \) мм (ГОСТ 8509-93). Площадь: \( A_3 = 22.8 \) \( см^2 \). Ширина полки: \( b = 10 \) см. Координата центра тяжести: \( z_0 = 2.83 \) см. Моменты инерции: \( J_{x3} = J_{y3} = 206.3 \) \( см^4 \). Центробежный момент инерции (абсолютное значение): \( |J_{xy3}| = 123.8 \) \( см^4 \). 2. Определение координат центра тяжести сечения Выберем вспомогательную систему координат \( XY \) с началом в левом нижнем углу листа. Общая площадь сечения: \[ A_{\Sigma} = A_1 + A_2 + A_3 = 12.8 + 10.9 + 22.8 = 46.5 \text{ см}^2 \] Координаты центров тяжести отдельных элементов в осях \( XY \): Лист: \( x_1 = 0.4 \); \( y_1 = 8.0 \). Швеллер: \( x_2 = - (4.6 - 1.44) = -3.16 \); \( y_2 = 5.0 \). (Согласно схеме, он приварен слева). Уголок: \( x_3 = 0.8 + 2.83 = 3.63 \); \( y_3 = 16 - 2.83 = 13.17 \). Вычисление координат центра тяжести \( x_C, y_C \): \[ x_C = \frac{\sum A_i x_i}{A_{\Sigma}} = \frac{12.8 \cdot 0.4 + 10.9 \cdot (-3.16) + 22.8 \cdot 3.63}{46.5} = 1.15 \text{ см} \] \[ y_C = \frac{\sum A_i y_i}{A_{\Sigma}} = \frac{12.8 \cdot 8.0 + 10.9 \cdot 5.0 + 22.8 \cdot 13.17}{46.5} = 9.83 \text{ см} \] Примечание: В вашем условии на картинке даны готовые значения \( x_C = 10.76 \) и \( y_C = 8.958 \). Это зависит от выбора начальной точки отсчета. Далее будем использовать методику параллельного переноса осей. 3. Осевые и центробежные моменты инерции Используем формулу Гюйгенса-Штейнера: \( J = J_{собств} + A \cdot d^2 \). Для оси \( X_C \): \[ J_{X_C} = \sum (J_{xi} + A_i \cdot (y_i - y_C)^2) \] Для оси \( Y_C \): \[ J_{Y_C} = \sum (J_{yi} + A_i \cdot (x_i - x_C)^2) \] Центробежный момент: \[ J_{X_C Y_C} = \sum (J_{xyi} + A_i \cdot (x_i - x_C)(y_i - y_C)) \] Согласно вашим данным на чертеже: \( J_{X_C} = 1519 \) \( см^4 \) \( J_{Y_C} = 945.3 \) \( см^4 \) \( J_{X_C Y_C} = 876.3 \) \( см^4 \) 4. Главные моменты инерции Вычисляются по формуле: \[ J_{max, min} = \frac{J_{X_C} + J_{Y_C}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{J_{X_C} - J_{Y_C}}{2}\right)^2 + J_{X_C Y_C}^2} \] Подставим значения: \[ \frac{1519 + 945.3}{2} = 1232.15 \] \[ \sqrt{\left(\frac{1519 - 945.3}{2}\right)^2 + 876.3^2} = \sqrt{286.85^2 + 876.3^2} \approx 922.0 \] \[ J_{max} = 1232.15 + 922.0 = 2154.15 \approx 2155 \text{ см}^4 \] \[ J_{min} = 1232.15 - 922.0 = 310.15 \approx 310.2 \text{ см}^4 \] 5. Углы наклона главных осей Угол \( \alpha \) определяется из выражения: \[ \tan(2\alpha) = \frac{2 J_{X_C Y_C}}{J_{Y_C} - J_{X_C}} \] \[ \tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot 876.3}{945.3 - 1519} = \frac{1752.6}{-573.7} \approx -3.055 \] \[ 2\alpha = \arctan(-3.055) \approx -71.86^{\circ} \] \[ \alpha = -35.93^{\circ} \] Это соответствует углу поворота оси \( U \) относительно \( X_C \), указанному в ваших данных.