Решение задачи: Геометрия - Контрольная работа №3

Хорошо, я помогу вам решить задачи по геометрии из представленного изображения. Контрольная работа №3 «Решение треугольников» 1 вариант. 1. В треугольнике ABC сторона AB равна 11 см, угол BAC=45°, угол ACB=30°. Найдите сторону BC. Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. То есть, для треугольника ABC: \[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \] Нам даны: \(AB = 11\) см \(\angle BAC = 45^\circ\) \(\angle ACB = 30^\circ\) Нужно найти \(BC\). Подставим известные значения в теорему синусов: \[ \frac{11}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(45^\circ)} \] Известно, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем эти значения: \[ \frac{11}{\frac{1}{2}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ 22 = \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Чтобы найти \(BC\), умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ BC = 22 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ BC = 11\sqrt{2} \] Ответ: Сторона BC равна \(11\sqrt{2}\) см. 2. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 135°, если две другие стороны равны \(5\sqrt{2}\) см и 7 см. Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Пусть искомая сторона будет \(c\), а две другие стороны \(a\) и \(b\). Угол между сторонами \(a\) и \(b\) обозначим \(\gamma\). Тогда: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \] Нам даны: \(a = 5\sqrt{2}\) см \(b = 7\) см \(\gamma = 135^\circ\) Нужно найти \(c\). Подставим известные значения в формулу: \[ c^2 = (5\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(135^\circ) \] Вычислим квадраты сторон: \((5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\) \(7^2 = 49\) Известно, что \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем эти значения: \[ c^2 = 50 + 49 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ c^2 = 99 - (70\sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ c^2 = 99 - \left(-\frac{70 \cdot (\sqrt{2})^2}{2}\right) \] \[ c^2 = 99 - \left(-\frac{70 \cdot 2}{2}\right) \] \[ c^2 = 99 - (-70) \] \[ c^2 = 99 + 70 \] \[ c^2 = 169 \] Чтобы найти \(c\), извлечем квадратный корень: \[ c = \sqrt{169} \] \[ c = 13 \] Ответ: Искомая сторона треугольника равна 13 см. 3. Сторона параллелограмма равна \(2\sqrt{3}\) см. Найдите его углы, если диагональ, образующая с другой стороной угол в 30°, равна 6 см. Найдите отношение сторон. Решение: Пусть параллелограмм будет ABCD. Пусть сторона \(AD = 2\sqrt{3}\) см. Пусть диагональ \(AC = 6\) см. Пусть угол, который диагональ \(AC\) образует с другой стороной \(CD\), равен \(\angle ACD = 30^\circ\). Нам нужно найти углы параллелограмма и отношение сторон. Рассмотрим треугольник ACD. У нас есть две стороны \(AD = 2\sqrt{3}\) см, \(AC = 6\) см и угол \(\angle ACD = 30^\circ\). Мы можем использовать теорему синусов для нахождения угла \(\angle ADC\). \[ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \] \[ \frac{2\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(\angle ADC)} \] Известно, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \[ \frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{\sin(\angle ADC)} \] \[ 4\sqrt{3} = \frac{6}{\sin(\angle ADC)} \] Выразим \(\sin(\angle ADC)\): \[ \sin(\angle ADC) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Значит, \(\angle ADC = 60^\circ\) или \(\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Рассмотрим два случая для \(\angle ADC\). Случай 1: \(\angle ADC = 60^\circ\). В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна 180°. Значит, \(\angle ABC = \angle ADC = 60^\circ\). \(\angle DAB = \angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Углы параллелограмма: \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\). Теперь найдем сторону \(CD\) (или \(AB\)) с помощью теоремы косинусов в треугольнике ACD. \[ AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD) \] \[ (2\sqrt{3})^2 = 6^2 + CD^2 - 2 \cdot 6 \cdot CD \cdot \cos(30^\circ) \] \[ 12 = 36 + CD^2 - 12 \cdot CD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 12 = 36 + CD^2 - 6\sqrt{3} \cdot CD \] \[ CD^2 - 6\sqrt{3} \cdot CD + 24 = 0 \] Решим квадратное уравнение для \(CD\). Дискриминант \(D = (6\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 \cdot 3 - 96 = 108 - 96 = 12\). \[ CD = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}}{2} \] Два возможных значения для \(CD\): \(CD_1 = \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) см \(CD_2 = \frac{6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) см Если \(CD = 4\sqrt{3}\) см, то отношение сторон: \(\frac{AD}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\). Если \(CD = 2\sqrt{3}\) см, то \(AD = CD\). В этом случае треугольник ACD равнобедренный, и \(\angle CAD = \angle ACD = 30^\circ\). Тогда \(\angle ADC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Это противоречит нашему предположению, что \(\angle ADC = 60^\circ\). Значит, этот случай не подходит для \(\angle ADC = 60^\circ\). Случай 2: \(\angle ADC = 120^\circ\). В этом случае \(\angle ABC = 120^\circ\). \(\angle DAB = \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Углы параллелограмма: \(120^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 60^\circ\). Теперь найдем сторону \(CD\) (или \(AB\)) с помощью теоремы косинусов в треугольнике ACD. \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC) \] \[ 6^2 = (2\sqrt{3})^2 + CD^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) \] \[ 36 = 12 + CD^2 - 4\sqrt{3} \cdot CD \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ 36 = 12 + CD^2 + 2\sqrt{3} \cdot CD \] \[ CD^2 + 2\sqrt{3} \cdot CD - 24 = 0 \] Решим квадратное уравнение для \(CD\). Дискриминант \(D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 12 + 96 = 108\). \[ CD = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}}{2} \] Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение: \[ CD = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \] В этом случае \(CD = 2\sqrt{3}\) см. Тогда \(AD = CD = 2\sqrt{3}\) см. Это означает, что параллелограмм является ромбом. Отношение сторон: \(\frac{AD}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1\). Проверим, соответствует ли этот случай условиям задачи. Если \(AD = CD = 2\sqrt{3}\), то треугольник ACD равнобедренный. \(\angle ADC = 120^\circ\). Тогда \(\angle CAD = \angle ACD = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Это соответствует условию задачи, что диагональ образует с другой стороной угол в 30°. Итак, углы параллелограмма: \(120^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 60^\circ\). Отношение сторон: \(1:1\). Ответ: Углы параллелограмма \(120^\circ\) и \(60^\circ\). Отношение сторон \(1:1\). 4. Диагональ прямоугольника делит его угол на два угла в отношении 1:2. Найдите отношение сторон. Решение: Пусть прямоугольник будет ABCD. Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(\angle DAB\) на два угла. В прямоугольнике все углы прямые, то есть \(\angle DAB = 90^\circ\). Пусть \(\angle DAC\) и \(\angle CAB\) - это два угла, на которые диагональ делит угол \(\angle DAB\). По условию, эти углы относятся как 1:2. Пусть \(\angle DAC = x\) и \(\angle CAB = 2x\). Тогда \(x + 2x = 90^\circ\). \(3x = 90^\circ\) \(x = 30^\circ\). Значит, \(\angle DAC = 30^\circ\) и \(\angle CAB = 60^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол \(\angle B = 90^\circ\)). У нас есть \(\angle CAB = 60^\circ\). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. \[ \tan(\angle CAB) = \frac{BC}{AB} \] \[ \tan(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \] Известно, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\). \[ \sqrt{3} = \frac{BC}{AB} \] Значит, отношение сторон \(BC:AB = \sqrt{3}:1\). Также можно рассмотреть прямоугольный треугольник ADC (угол \(\angle D = 90^\circ\)). У нас есть \(\angle DAC = 30^\circ\). \[ \tan(\angle DAC) = \frac{CD}{AD} \] Так как \(CD = AB\) и \(AD = BC\), то: \[ \tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \] Известно, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{BC} \] Это означает, что \(\frac{BC}{AB} = \sqrt{3}\). Ответ: Отношение сторон прямоугольника равно \(\sqrt{3}:1\) (или \(1:\sqrt{3}\), в зависимости от того, какие стороны сравниваются). 2 вариант. 1. В треугольнике CED сторона CE равна 13 см, угол EDC=45°, угол DCE=60°. Найдите сторону ED. Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. То есть, для треугольника CED: \[ \frac{CE}{\sin(\angle EDC)} = \frac{ED}{\sin(\angle DCE)} = \frac{CD}{\sin(\angle CED)} \] Нам даны: \(CE = 13\) см \(\angle EDC = 45^\circ\) \(\angle DCE = 60^\circ\) Нужно найти \(ED\). Подставим известные значения в теорему синусов: \[ \frac{13}{\sin(45^\circ)} = \frac{ED}{\sin(60^\circ)} \] Известно, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляем эти значения: \[ \frac{13}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{ED}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ \frac{26}{\sqrt{2}} = \frac{2ED}{\sqrt{3}} \] Чтобы найти \(ED\), умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ ED = \frac{26}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ ED = \frac{13\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ ED = \frac{13\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{6}}{2} \] Ответ: Сторона ED равна \(\frac{13\sqrt{6}}{2}\) см. 2. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 150°, если две другие стороны равны \(4\sqrt{3}\) см и 7 см. Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть искомая сторона будет \(c\), а две другие стороны \(a\) и \(b\). Угол между сторонами \(a\) и \(b\) обозначим \(\gamma\). Тогда: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \] Нам даны: \(a = 4\sqrt{3}\) см \(b = 7\) см \(\gamma = 150^\circ\) Нужно найти \(c\). Подставим известные значения в формулу: \[ c^2 = (4\sqrt{3})^2 + 7^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 7 \cdot \cos(150^\circ) \] Вычислим квадраты сторон: \((4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48\) \(7^2 = 49\) Известно, что \(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляем эти значения: \[ c^2 = 48 + 49 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ c^2 = 97 - (56\sqrt{3}) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ c^2 = 97 - \left(-\frac{56 \cdot (\sqrt{3})^2}{2}\right) \] \[ c^2 = 97 - \left(-\frac{56 \cdot 3}{2}\right) \] \[ c^2 = 97 - (-28 \cdot 3) \] \[ c^2 = 97 - (-84) \] \[ c^2 = 97 + 84 \] \[ c^2 = 181 \] Чтобы найти \(c\), извлечем квадратный корень: \[ c = \sqrt{181} \] Ответ: Искомая сторона треугольника равна \(\sqrt{181}\) см. 3. Найдите углы равнобокой трапеции, в которой боковая сторона равна \(2\sqrt{2}\) см, а диагональ, равная 4 см, образует с основанием угол в 30°. Решение: Пусть трапеция будет ABCD, где AD и BC - основания, AB и CD - боковые стороны. Трапеция равнобокая, значит \(AB = CD = 2\sqrt{2}\) см. Пусть диагональ \(AC = 4\) см. Диагональ \(AC\) образует с основанием \(AD\) угол \(\angle CAD = 30^\circ\). Нам нужно найти углы трапеции. Рассмотрим треугольник ACD. У нас есть стороны \(CD = 2\sqrt{2}\) см, \(AC = 4\) см и угол \(\angle CAD = 30^\circ\). Мы можем использовать теорему синусов для нахождения угла \(\angle ADC\). \[ \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \] \[ \frac{2\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin(\angle ADC)} \] Известно, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \[ \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sin(\angle ADC)} \] \[ 4\sqrt{2} = \frac{4}{\sin(\angle ADC)} \] Выразим \(\sin(\angle ADC)\): \[ \sin(\angle ADC) = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Значит, \(\angle ADC = 45^\circ\) или \(\angle ADC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). В равнобокой трапеции углы при основании равны. \(\angle DAB = \angle ADC\). \(\angle ABC = \angle BCD\). Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\). Случай 1: \(\angle ADC = 45^\circ\). Тогда \(\angle DAB = 45^\circ\). \(\angle BCD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). \(\angle ABC = 135^\circ\). Углы трапеции: \(45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ\). Проверим этот случай. В треугольнике ACD: \(\angle CAD = 30^\circ\), \(\angle ADC = 45^\circ\). Тогда \(\angle ACD = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ\). Теперь найдем основание \(AD\) с помощью теоремы синусов: \[ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} \] \[ \frac{AD}{\sin(105^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} \] \(\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\). \[ AD = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \cdot \sin(105^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \sqrt{12} + 2 = 2\sqrt{3} + 2 \] Теперь найдем основание \(BC\). Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин B и C на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH: \(AH = AB \cos(\angle DAB) = 2\sqrt{2} \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\). \(BC = AD - 2 \cdot AH = (2\sqrt{3} + 2) - 2 \cdot 2 = 2\sqrt{3} + 2 - 4 = 2\sqrt{3} - 2\). Так как \(2\sqrt{3} - 2 > 0\) (поскольку \(2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464\)), то этот случай возможен. Случай 2: \(\angle ADC = 135^\circ\). Тогда \(\angle DAB = 135^\circ\). \(\angle BCD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). \(\angle ABC = 45^\circ\). Углы трапеции: \(135^\circ, 45^\circ, 45^\circ, 135^\circ\). Проверим этот случай. В треугольнике ACD: \(\angle CAD = 30^\circ\), \(\angle ADC = 135^\circ\). Тогда \(\angle ACD = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ\). Теперь найдем основание \(AD\) с помощью теоремы синусов: \[ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} \] \[ \frac{AD}{\sin(15^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} \] \(\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\). \[ AD = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \cdot \sin(15^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{12} - 2 = 2\sqrt{3} - 2 \] Теперь найдем основание \(BC\). Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин B и C на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH: \(AH = AB \cos(\angle DAB) = 2\sqrt{2} \cos(135^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2\). Длина отрезка не может быть отрицательной. Это означает, что точка H лежит за пределами отрезка AD, что соответствует тупому углу при основании. В этом случае, если мы опустим высоту из B на продолжение AD, то \(AH = 2\). Тогда \(BC = AD + 2 \cdot AH = (2\sqrt{3} - 2) + 2 \cdot 2 = 2\sqrt{3} - 2 + 4 = 2\sqrt{3} + 2\). Этот случай также возможен. Однако, в условии сказано "диагональ, равная 4 см, образует с основанием угол в 30°". Обычно под этим подразумевается острый угол. Если угол при основании тупой, то диагональ может образовывать угол 30° с продолжением основания. Если же имеется в виду угол с основанием, как с отрезком, то \(\angle CAD\) должен быть частью \(\angle DAB\). Если \(\angle DAB = 135^\circ\), а \(\angle CAD = 30^\circ\), то \(\angle CAB = 135^\circ - 30^\circ = 105^\circ\). В треугольнике ABC: \(AB = 2\sqrt{2}\), \(AC = 4\), \(\angle CAB = 105^\circ\). По теореме косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC \cos(\angle CAB)\). \(BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 (2\sqrt{2}) 4 \cos(105^\circ)\). \(BC^2 = 8 + 16 - 16\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)\). \(BC^2 = 24 + 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 24 + 4\sqrt{12} - 4 \cdot 2 = 24 + 8\sqrt{3} - 8 = 16 + 8\sqrt{3}\). \(BC = \sqrt{16 + 8\sqrt{3}}\). Это значение \(BC\) должно совпадать с \(2\sqrt{3} + 2\). \((2\sqrt{3} + 2)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 12 + 8\sqrt{3} + 4 = 16 + 8\sqrt{3}\). Совпадает. Значит, оба случая математически возможны. Однако, в школьных задачах, если не указано иное, обычно подразумеваются острые углы при основании трапеции, если речь идет о равнобокой трапеции. Поэтому, скорее всего, имеется в виду первый случай. Ответ: Углы равнобокой трапеции \(45^\circ\) и \(135^\circ\). 4. Диагональ параллелограмма делит его угол на два угла равные 45° и 30°. Найдите отношение сторон. Решение: Пусть параллелограмм будет ABCD. Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(\angle DAB\) на два угла: \(\angle DAC = 45^\circ\) и \(\angle CAB = 30^\circ\). Тогда весь угол \(\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ\). В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°. Значит, \(\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\). Также, \(\angle BCD = \angle DAB = 75^\circ\) и \(\angle CDA = \angle ABC = 105^\circ\). Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть \(\angle CAB = 30^\circ\). Угол \(\angle ACB\) можно найти, используя свойство параллельных прямых. Так как AD || BC, то \(\angle DAC = \angle ACB\) как накрест лежащие углы. Значит, \(\angle ACB = 45^\circ\). Теперь в треугольнике ABC мы знаем все углы: \(\angle CAB = 30^\circ\) \(\angle ACB = 45^\circ\) \(\angle ABC = 105^\circ\) (проверим: \(30^\circ + 45^\circ + 105^\circ = 180^\circ\)). Нам нужно найти отношение сторон параллелограмма, то есть отношение \(AB:BC\). Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC: \[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{BC}{\sin(\angle CAB)} \] \[ \frac{AB}{\sin(45^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)} \] Известно, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{BC}{\frac{1}{2}} \] \[ \frac{2AB}{\sqrt{2}} = 2BC \] \[ \frac{AB}{\sqrt{2}} = BC \] \[ AB = BC \cdot \sqrt{2} \] Значит, отношение сторон \(AB:BC = \sqrt{2}:1\). Ответ: Отношение сторон параллелограмма равно \(\sqrt{2}:1\).