Теорема Пифагора: Доказательство для записи в тетрадь

Вот доказательство теоремы Пифагора, которое удобно записать в тетрадь. Теорема Пифагора Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Дано: Прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\). Катеты: \(a\) (сторона \(BC\)), \(b\) (сторона \(AC\)). Гипотенуза: \(c\) (сторона \(AB\)). Доказать: \(a^2 + b^2 = c^2\). Доказательство: 1. Начертим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). (Нарисуйте треугольник, обозначьте вершины \(A, B, C\), прямой угол у \(C\). Стороны напротив вершин обозначьте маленькими буквами: \(a\) напротив \(A\), \(b\) напротив \(B\), \(c\) напротив \(C\). В данном случае, \(a\) - это \(BC\), \(b\) - это \(AC\), \(c\) - это \(AB\).) 2. Проведем высоту \(CD\) из вершины прямого угла \(C\) к гипотенузе \(AB\). Обозначим точку пересечения высоты с гипотенузой как \(D\). (Нарисуйте высоту \(CD\), перпендикулярную \(AB\). Обозначьте точку \(D\).) 3. Высота \(CD\) делит прямоугольный треугольник \(ABC\) на два меньших прямоугольных треугольника: \(ACD\) и \(CBD\). (Укажите, что \(CD \perp AB\), поэтому углы \(CDA\) и \(CDB\) прямые.) 4. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ACD\). Угол \(A\) – общий для обоих треугольников. Угол \(ACB\) = \(90^\circ\) (по условию). Угол \(ADC\) = \(90^\circ\) (по построению). Следовательно, треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(ACD\) по двум углам (по первому признаку подобия треугольников). (Запишите: \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\)). 5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\] Подставим обозначения сторон: \[\frac{b}{c} = \frac{AD}{b}\] Отсюда выразим \(b^2\): \[b^2 = c \cdot AD \quad (*)\]. 6. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CBD\). Угол \(B\) – общий для обоих треугольников. Угол \(ACB\) = \(90^\circ\) (по условию). Угол \(CDB\) = \(90^\circ\) (по построению). Следовательно, треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(CBD\) по двум углам. (Запишите: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\)). 7. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}\] Подставим обозначения сторон: \[\frac{a}{c} = \frac{BD}{a}\] Отсюда выразим \(a^2\): \[a^2 = c \cdot BD \quad (**)\]. 8. Сложим равенства \((*)\) и \((**)\): \[a^2 + b^2 = (c \cdot BD) + (c \cdot AD)\] Вынесем \(c\) за скобки: \[a^2 + b^2 = c \cdot (BD + AD)\] 9. Посмотрим на отрезок \(AB\). Он состоит из отрезков \(AD\) и \(BD\). То есть, \(AD + BD = AB\). А \(AB\) – это гипотенуза \(c\). Значит, \(AD + BD = c\). 10. Подставим это в наше равенство: \[a^2 + b^2 = c \cdot c\] \[a^2 + b^2 = c^2\] Что и требовалось доказать. (В тетради можно сделать небольшой рисунок для каждого шага, где это уместно, или один большой рисунок в начале, на котором будут обозначены все элементы.)