Решение задачи по геометрии: Угол и Касательная

Ниже представлены решения задач с 1 по 6 из вашего списка, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: Угол \( \angle C = 53^\circ \). Окружность с центром \( O \) вписана в угол \( C \). \( A \) и \( B \) — точки касания. Найти: \( \angle AOB \). Решение: Радиусы \( OA \) и \( OB \), проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла. Следовательно, \( \angle OAC = 90^\circ \) и \( \angle OBC = 90^\circ \). В четырехугольнике \( OACB \) сумма углов равна \( 360^\circ \). \[ \angle AOB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC + \angle C) \] \[ \angle AOB = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 53^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ \] Ответ: \( 127^\circ \). Задача 2 Дано: \( AK \) — касательная. \( ABC \) — секущая. \( AB = 6 \), \( AC = 54 \). Найти: \( AK \). Решение: По теореме о касательной и секущей: квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. \[ AK^2 = AB \cdot AC \] \[ AK^2 = 6 \cdot 54 = 324 \] \[ AK = \sqrt{324} = 18 \] Ответ: 18. Задача 3 Дано: Четырехугольник \( ABCD \) описан около окружности. \( AB = 5 \), \( BC = 9 \), \( CD = 16 \). Найти: \( AD \). Решение: В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны. \[ AB + CD = BC + AD \] \[ 5 + 16 = 9 + AD \] \[ 21 = 9 + AD \] \[ AD = 21 - 9 = 12 \] Ответ: 12. Задача 4 Дано: Трапеция \( ABCD \) описана около окружности. \( AB = 12 \), \( BC = 4 \), \( CD = 8 \). Найти: \( AD \). Решение: Так как трапеция описана около окружности, суммы ее противоположных сторон равны. \[ AB + CD = BC + AD \] \[ 12 + 8 = 4 + AD \] \[ 20 = 4 + AD \] \[ AD = 20 - 4 = 16 \] Ответ: 16. Задача 5 Дано: Хорды \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( P \). \( BP = 8 \), \( CP = 24 \), \( DP = 18 \). Найти: \( AP \). Решение: По теореме о пересекающихся хордах: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. \[ AP \cdot CP = BP \cdot DP \] \[ AP \cdot 24 = 8 \cdot 18 \] \[ 24 \cdot AP = 144 \] \[ AP = 144 : 24 = 6 \] Ответ: 6. Задача 6 Дано: Периметр \( P = 48 \). Радиус вписанной окружности \( r = 3 \). Одна из сторон равна 18 (лишнее данное для нахождения площади). Найти: Площадь \( S \). Решение: Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр \( p \) вычисляется по формуле: \[ S = p \cdot r \] Находим полупериметр: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{48}{2} = 24 \] Вычисляем площадь: \[ S = 24 \cdot 3 = 72 \] Ответ: 72.