Градиент: вектор наибольшего увеличения функции

Градиент — это вектор, который указывает направление наилучшего (наибыстрейшего) увеличения функции в данной точке. Для школьной тетради ответ можно записать следующим образом: Определение: Градиент функции — это векторная величина, определяющая направление наилучшего увеличения значения функции. Основные свойства: 1. Направление: Градиент всегда направлен в сторону самого крутого подъема графика функции. 2. Величина: Модуль (длина) градиента равен скорости этого изменения. 3. Геометрический смысл: Градиент перпендикулярен линии уровня (или поверхности уровня) функции, проходящей через данную точку. Если функция зависит от двух переменных \(x\) и \(y\), то градиент обозначается символом \(\nabla f\) (набла) и вычисляется по формуле: \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Где: \( \frac{\partial f}{\partial x} \) — частная производная по \(x\); \( \frac{\partial f}{\partial y} \) — частная производная по \(y\). Вывод: Хотя градиент характеризует изменение функции в целом, математически точно говорить, что он указывает именно на направление наибольшего увеличения. Вектор наибольшего уменьшения будет направлен строго в противоположную сторону и называется антиградиентом.