Решение задачи о подобии треугольников

Ниже представлено решение задач из проверочной работы (Вариант 2), оформленное для записи в тетрадь. Г-8 Проверочная работа по теме «Признаки подобия треугольников» Вариант-2 Задача 1. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). По рисунку: \(AB = 15\), \(AC = 6\), \(A_1C_1 = 9\), \(B_1C_1 = 15\). Найти: \(BC\), \(A_1B_1\). Решение: Так как треугольники подобны, их сходственные стороны пропорциональны: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \] Найдем коэффициент подобия \(k\): \[ k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Тогда: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{2}{3} \Rightarrow A_1B_1 = \frac{3 \cdot AB}{2} = \frac{3 \cdot 15}{2} = 22,5 \] \[ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{2}{3} \Rightarrow BC = \frac{2 \cdot B_1C_1}{3} = \frac{2 \cdot 15}{3} = 10 \] Ответ: \(BC = 10\), \(A_1B_1 = 22,5\). Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 4\) см, \(BC = 7\) см, \(AC = 6\) см. \(\triangle MNK\): \(MK = 8\) см, \(MN = 12\) см, \(KN = 14\) см. \(\angle A = 80^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\). Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle MKN\). Найти углы \(\triangle MNK\). Доказательство: Проверим отношение соответствующих сторон (от меньшей к меньшей, от большей к большей): \[ \frac{AB}{MK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{AC}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{BC}{KN} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] Так как стороны пропорциональны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MKN\) по третьему признаку (по трем сторонам). Решение: В подобных треугольниках углы равны: \[ \angle M = \angle A = 80^\circ \] \[ \angle K = \angle B = 60^\circ \] Сумма углов треугольника \(180^\circ\), значит: \[ \angle N = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 40^\circ \] Ответ: \(\angle M = 80^\circ\), \(\angle K = 60^\circ\), \(\angle N = 40^\circ\). Задача 3. На рисунке изображены треугольники \(MAN\) и \(DAF\). 1. \(\angle MAN = \angle DAF\) как вертикальные. 2. Если прямые \(MN\) и \(DF\) параллельны (что обычно подразумевается в таких задачах по рисунку), то \(\angle M = \angle D\) и \(\angle N = \angle F\) как накрест лежащие. Треугольники подобны по двум углам (первый признак). Сходственные стороны: \(MN\) и \(DF\), \(AM\) и \(AD\), \(AN\) и \(AF\). Задача 4. Дано: \(\triangle ABC\) со сторонами \(12, 16, 24\); \(\triangle A_1B_1C_1\) со сторонами \(6, 8, 12\). Доказательство: Найдем отношения сторон: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{16}{8} = 2 \] \[ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{24}{12} = 2 \] Стороны пропорциональны, значит \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) по трем сторонам. Коэффициент подобия \(k = 2\). Задача 5. Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса. \(BD = 23\) см, \(DC = 6\) см, \(AC = 36\) см. Найти: \(AB\). Решение: По свойству биссектрисы треугольника: \[ \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{DC} \] \[ \frac{AB}{23} = \frac{36}{6} \] \[ \frac{AB}{23} = 6 \] \[ AB = 6 \cdot 23 = 138 \text{ см} \] Ответ: \(AB = 138\) см. Задача 6. Дано: \(AO = 4\), \(BO = 6\), \(CO = 12\), \(DO = 8\). \(S_{COD} = 16 \text{ см}^2\). Доказать: \(\triangle BOA \sim \triangle DOC\). Найти \(S_{BOA}\). Доказательство: 1. \(\angle BOA = \angle DOC\) (вертикальные). 2. Проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы: \[ \frac{BO}{CO} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{AO}{DO} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними (второй признак). Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\). Решение: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{BOA}}{S_{COD}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] \[ S_{BOA} = \frac{1}{4} \cdot S_{COD} = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 \text{ см}^2 \] Ответ: \(S_{BOA} = 4 \text{ см}^2\).