Решение задачи: Теорема о вписанных углах (α=18°, β=46°)

Решим задачу по данным рисунка. Дано: Окружность с центром в точке \(O\). Угол \(\alpha = 18^\circ\). Угол \(\beta = 46^\circ\). Найти: Угол \(x\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности \(O\) и двумя точками на окружности, которые образуют угол \(\alpha\). Одна из сторон этого треугольника является радиусом, а другая — хордой. Угол \(\alpha\) является вписанным углом, опирающимся на некоторую дугу. 2. Угол \(\alpha = 18^\circ\) является вписанным углом. Он опирается на дугу, которая находится между точкой, где начинается сторона угла \(\alpha\) на окружности, и точкой, где заканчивается другая сторона угла \(\alpha\) на окружности. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. Обозначим центральный угол, соответствующий углу \(\alpha\), как \(\angle AOB\), где \(A\) и \(B\) - точки на окружности, образующие угол \(\alpha\). Тогда \(\angle AOB = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\). 3. Угол \(\beta = 46^\circ\) является центральным углом, так как его вершина находится в центре окружности \(O\). Он опирается на дугу, которая находится между двумя точками на окружности. 4. Рассмотрим треугольник, который содержит угол \(x\). Одна из сторон этого угла является диаметром окружности (проходит через центр \(O\)). Другая сторона угла \(x\) является хордой. Угол \(x\) является вписанным углом. 5. На рисунке видно, что угол \(\beta\) и угол, который является частью угла \(x\), образуют смежные углы на прямой, проходящей через центр \(O\). Однако, это не совсем так. Угол \(\beta\) - это центральный угол, образованный двумя радиусами. 6. Давайте внимательно посмотрим на рисунок. Угол \(\alpha\) - это вписанный угол. Он опирается на дугу, которая соответствует центральному углу \(2\alpha\). Угол \(\beta\) - это центральный угол. Он опирается на дугу, которая соответствует углу \(\beta\). 7. Рассмотрим треугольник, образованный центром \(O\) и двумя точками на окружности, которые образуют угол \(\alpha\). Пусть эти точки будут \(C\) и \(D\). Тогда \(\angle COD\) - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол \(\alpha\). Значит, \(\angle COD = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\). 8. Теперь рассмотрим треугольник, который содержит угол \(x\). Пусть точки на окружности, образующие угол \(x\), будут \(E\) и \(F\). Угол \(x\) - это вписанный угол. Он опирается на дугу \(EF\). Центральный угол, опирающийся на дугу \(EF\), равен \(2x\). 9. На рисунке видно, что угол \(\beta\) является центральным углом. Он образован двумя радиусами. Также видно, что угол \(\beta\) и центральный угол, соответствующий углу \(\alpha\), находятся по разные стороны от одной из линий, проходящих через центр \(O\). 10. Давайте обозначим точки на окружности. Пусть диаметр проходит через точки \(A\) (слева) и \(B\) (справа). Центр окружности - \(O\). Пусть верхняя точка, из которой исходят две хорды, образующие угол \(\beta\), будет \(P\). Пусть точка на окружности, которая образует угол \(\alpha\) с точкой \(B\) и точкой \(O\), будет \(Q\). Тогда \(\angle QBO = \alpha\). Так как \(OB\) и \(OQ\) - радиусы, то треугольник \(QOB\) - равнобедренный. Значит, \(\angle OQB = \angle QBO = \alpha = 18^\circ\). Центральный угол \(\angle QOB = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 18^\circ = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\). Это не соответствует рисунку, так как \(\alpha\) - это вписанный угол, а не угол в равнобедренном треугольнике с вершиной в центре. 11. Перечитаем условие. Угол \(\alpha\) и угол \(x\) - это вписанные углы. Угол \(\beta\) - это центральный угол. Угол \(\alpha = 18^\circ\). Он опирается на дугу, которую мы можем обозначить как дуга \(BC\), где \(B\) - правая точка диаметра, \(C\) - точка на окружности, из которой исходит хорда, образующая угол \(\alpha\). Центральный угол, опирающийся на дугу \(BC\), равен \(2\alpha = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\). То есть, \(\angle BOC = 36^\circ\). 12. Угол \(\beta = 46^\circ\). Это центральный угол. Он опирается на дугу, которую мы можем обозначить как дуга \(CD\), где \(D\) - точка на окружности. То есть, \(\angle COD = \beta = 46^\circ\). 13. Угол \(x\) - это вписанный угол. Он опирается на дугу \(AD\), где \(A\) - левая точка диаметра. Центральный угол, опирающийся на дугу \(AD\), равен \(2x\). То есть, \(\angle AOD = 2x\). 14. Точки \(A\), \(O\), \(B\) лежат на одной прямой (диаметр). Значит, \(\angle AOB = 180^\circ\). Мы видим, что \(\angle AOB\) состоит из трех центральных углов: \(\angle AOD\), \(\angle DOC\), \(\angle COB\). То есть, \(\angle AOD + \angle DOC + \angle COB = 180^\circ\). 15. Подставим известные значения: \(2x + \beta + 2\alpha = 180^\circ\). \(2x + 46^\circ + 2 \cdot 18^\circ = 180^\circ\). \(2x + 46^\circ + 36^\circ = 180^\circ\). \(2x + 82^\circ = 180^\circ\). 16. Теперь найдем \(2x\): \(2x = 180^\circ - 82^\circ\). \(2x = 98^\circ\). 17. И, наконец, найдем \(x\): \(x = \frac{98^\circ}{2}\). \(x = 49^\circ\). Ответ: Угол \(x = 49^\circ\). Пояснения для школьника: 1. Вспомним, что такое вписанный угол и центральный угол. * Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. * Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны являются радиусами. 2. Важное правило: Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла. То есть, если вписанный угол равен \(\alpha\), то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \(2\alpha\). 3. На рисунке у нас есть диаметр, который проходит через центр \(O\). Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая из которых соответствует углу \(180^\circ\). 4. Угол \(\alpha = 18^\circ\) - это вписанный угол. Он опирается на некоторую дугу. Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, будет \(2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\). 5. Угол \(\beta = 46^\circ\) - это центральный угол. Он опирается на свою дугу. 6. Угол \(x\) - это вписанный угол. Он опирается на некоторую дугу. Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, будет \(2x\). 7. Все эти три центральных угла ( \(2\alpha\), \(\beta\), \(2x\) ) вместе образуют развернутый угол, то есть \(180^\circ\), потому что они лежат на одной прямой (диаметре). 8. Составим уравнение: \(2x + \beta + 2\alpha = 180^\circ\). 9. Подставим известные значения: \(2x + 46^\circ + 2 \cdot 18^\circ = 180^\circ\). 10. Выполним вычисления: \(2x + 46^\circ + 36^\circ = 180^\circ\). \(2x + 82^\circ = 180^\circ\). \(2x = 180^\circ - 82^\circ\). \(2x = 98^\circ\). \(x = \frac{98^\circ}{2}\). \(x = 49^\circ\). Таким образом, мы нашли значение угла \(x\).