Решение задачи: Наклонные к плоскости и угол между проекциями

Дано: Плоскость \(\alpha\). \(BA\) и \(BC\) — наклонные. \(BA = 2\sqrt{3}\) см. \(\angle BAH = 60^\circ\) (угол между \(BA\) и плоскостью). \(\angle BCH = 30^\circ\) (угол между \(BC\) и плоскостью). \(\angle AHC = 120^\circ\) (угол между проекциями). Найти: \(AC\). Решение: 1. Опустим перпендикуляр \(BH\) из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(BH\) — расстояние от точки \(B\) до плоскости, а отрезки \(AH\) и \(CH\) являются проекциями наклонных \(BA\) и \(BC\) на плоскость \(\alpha\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)): Найдем высоту \(BH\): \[BH = BA \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \text{ см}.\] Найдем проекцию \(AH\): \[AH = BA \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \text{ см}.\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CBH\) (\(\angle CHB = 90^\circ\)): Так как высота \(BH\) общая и равна 3 см, найдем проекцию \(CH\) через тангенс угла \(BCH\): \[CH = \frac{BH}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \text{ см}.\] 4. Рассмотрим треугольник \(AHC\) в плоскости \(\alpha\). В нем известны стороны \(AH = \sqrt{3}\) см, \(CH = 3\sqrt{3}\) см и угол между ними \(\angle AHC = 120^\circ\). Для нахождения стороны \(AC\) воспользуемся теоремой косинусов: \[AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(120^\circ)\] Подставим значения: \[AC^2 = (\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[AC^2 = 3 + 27 + 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}\] \[AC^2 = 30 + 9 = 39\] \[AC = \sqrt{39} \text{ см}.\] Ответ: \(AC = \sqrt{39}\) см.