Разложение вектора BO по векторам AB и CB - Решение

Вариант В2. Даны точки: \(A(-5; 2)\), \(B(5; 2)\), \(C(-3; 6)\). Разложите вектор \(\vec{BO}\) (\(O\) — начало координат) по векторам \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\). Решение: 1. Найдем координаты векторов \(\vec{BO}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\). Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала. Точка \(O\) имеет координаты \((0; 0)\). \[ \vec{BO} = (0 - 5; 0 - 2) = (-5; -2) \] \[ \vec{AB} = (5 - (-5); 2 - 2) = (10; 0) \] \[ \vec{CB} = (5 - (-3); 2 - 6) = (8; -4) \] 2. Разложение вектора \(\vec{BO}\) по векторам \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\) имеет вид: \[ \vec{BO} = x \cdot \vec{AB} + y \cdot \vec{CB} \] где \(x\) и \(y\) — искомые коэффициенты разложения. 3. Запишем это уравнение в координатах: \[ (-5; -2) = x \cdot (10; 0) + y \cdot (8; -4) \] \[ (-5; -2) = (10x + 8y; 0x - 4y) \] 4. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 10x + 8y = -5 \\ -4y = -2 \end{cases} \] 5. Решим систему: Из второго уравнения находим \(y\): \[ y = \frac{-2}{-4} = 0,5 \] Подставим \(y = 0,5\) в первое уравнение: \[ 10x + 8 \cdot 0,5 = -5 \] \[ 10x + 4 = -5 \] \[ 10x = -5 - 4 \] \[ 10x = -9 \] \[ x = -0,9 \] 6. Запишем итоговое разложение: \[ \vec{BO} = -0,9 \vec{AB} + 0,5 \vec{CB} \] Ответ: \(\vec{BO} = -0,9 \vec{AB} + 0,5 \vec{CB}\).