Решение задачи по геометрии: треугольник

Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Задача №1 Чертеж: Нарисуйте произвольный треугольник, обозначьте его стороны буквами \(a\), \(b\) и \(c\). Дано: Отношение сторон \(a : b : c = 2 : 5 : 6\) Периметр \(P = 39\) см Найти: \(a, b, c\) — ? Решение: Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности (длина одной части). Тогда стороны треугольника равны: \(a = 2x\) \(b = 5x\) \(c = 6x\) Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: \[P = a + b + c\] \[2x + 5x + 6x = 39\] \[13x = 39\] \[x = 39 : 13\] \[x = 3\) (см) Теперь найдем длины сторон: \(a = 2 \cdot 3 = 6\) (см) \(b = 5 \cdot 3 = 15\) (см) \(c = 6 \cdot 3 = 18\) (см) Ответ: 6 см, 15 см, 18 см. Задача №2 Чертеж: Нарисуйте трапецию \(ABCD\) (основания \(BC\) и \(AD\)). Проведите диагонали \(AC\) и \(BD\), точку их пересечения обозначьте \(O\). Дано: \(AO = 15\) см, \(BO = 8\) см, \(AC = 27\) см, \(DO = 10\) см, \(BC = 16\) см. Доказать: \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) Найти: \(AD\) — ? Доказательство и решение: 1. Найдем отрезок \(CO\). Так как \(AC = AO + CO\), то: \[CO = AC - AO = 27 - 15 = 12 \text{ (см)}\] 2. Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\). Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) равны как вертикальные. Проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы: \[\frac{AO}{CO} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25\] \[\frac{DO}{BO} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25\] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) по второму признаку подобия. 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность всех сторон: \[\frac{AD}{CB} = \frac{AO}{CO}\] \[\frac{AD}{16} = \frac{15}{12}\] \[AD = \frac{16 \cdot 15}{12} = \frac{16 \cdot 5}{4} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ (см)}\] Ответ: \(AD = 20\) см. Задача №3 Чертеж: Нарисуйте треугольник \(ABC\). Из вершины \(B\) проведите биссектрису \(BD\) к стороне \(AC\). Обозначьте отрезки на стороне \(AC\) как 43 см и 29 см. Дано: \(a - b = 28\) см (разность боковых сторон) Отрезки третьей стороны: \(m = 43\) см, \(n = 29\) см. Найти: Стороны треугольника \(a\) и \(b\). Решение: По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[\frac{a}{b} = \frac{m}{n}\] \[\frac{a}{b} = \frac{43}{29}\] Выразим \(a\) через \(b\): \[a = \frac{43}{29}b\] По условию задачи разность сторон равна 28 см: \[a - b = 28\] Подставим выражение для \(a\): \[\frac{43}{29}b - b = 28\] \[\frac{43b - 29b}{29} = 28\] \[\frac{14b}{29} = 28\] \[14b = 28 \cdot 29\] \[b = \frac{28 \cdot 29}{14}\] \[b = 2 \cdot 29 = 58 \text{ (см)}\] Теперь найдем сторону \(a\): \[a = 58 + 28 = 86 \text{ (см)}\] Ответ: 86 см и 58 см.