Решение задачи 4.4: Параллельность прямой и плоскости

Давай разберем задачу «на пальцах», чтобы ты понимал каждое движение карандаша. **Суть задачи:** У нас есть «стена» (плоскость \(\alpha\)), какая-то «палка» в пространстве (прямая \(l\)) и «точка» в воздухе (точка \(A\)). Нам нужно из точки \(A\) выстрелить другой палкой так, чтобы она: 1. Шла в том же направлении, что и «стена» (была ей параллельна). 2. Обязательно ударилась (пересеклась) о первую «палку» \(l\). --- **Шаг 1: Создаем направление (Плоскость через точку \(A\))** Чтобы любая линия из точки \(A\) была параллельна плоскости \(\alpha\), она должна лежать в «копии» этой плоскости, проведенной через \(A\). * **Что делать:** Через \(A''\) проведи линию, параллельную \(a''\). Назови её \(m''\). * **Что делать:** Через \(A'\) проведи линию, параллельную \(a'\). Назови её \(m'\). * **Откуда взялось:** Есть правило: если прямая параллельна плоскости, то она параллельна какой-либо прямой в этой плоскости. Мы просто «перенесли» направление прямой \(a\) в точку \(A\). Теперь любая линия, соединяющая \(A\) с чем-то в этой новой плоскости, будет параллельна \(\alpha\). **Шаг 2: Ищем «мишень» (Точка \(K\))** Теперь нам нужно понять, в каком именно месте наша первая палка \(l\) проткнет эту новую «копию» плоскости. Это и будет точка, в которую нам нужно целиться из точки \(A\). * **Что делать:** Посмотри на \(l'\) (снизу). Она пересекает нашу новую линию \(m'\) в точке \(1'\) и линию \(b'\) (точнее, её копию через \(A\), но для простоты можно использовать метод из задачи 4.4). * **Проще:** Используем метод «вспомогательной стены». Представь, что под прямой \(l'\) стоит забор. 1. Находим, где этот «забор» пересекает прямые нашей новой плоскости. 2. Поднимаем эти точки вверх на \(m''\) и вторую линию через \(A''\). 3. Соединяем их наверху — получаем линию. 4. Где эта линия пересеклась с \(l''\), там и есть точка \(K''\). **Шаг 3: Рисуем ответ** * **Что делать:** У тебя есть точка \(A''\) и ты нашел точку \(K''\). Соедини их одной прямой. * **Что делать:** Опусти линию связи из \(K''\) вниз на \(l'\), получишь \(K'\). Соедини \(A'\) и \(K'\). --- **Короткая шпаргалка для тетради (что откуда):** 1. **Линии через \(A\)** — берем направления от \(a\) и \(b\), чтобы соблюсти параллельность. 2. **Точка \(K\)** — это точка встречи прямой \(l\) с плоскостью, которую мы построили в первом шаге. 3. **Прямая \(AK\)** — это и есть ответ, так как она лежит в нужной плоскости (параллельна \(\alpha\)) и проходит через \(l\) (пересекает её). **Формулы для оформления:** \[ 1. \text{ Построение } \beta \parallel \alpha: A \in m, m \parallel a \Rightarrow m' \parallel a', m'' \parallel a'' \] \[ 2. \text{ Нахождение } K = l \cap \beta \text{ (точка пересечения)} \] \[ 3. \text{ Ответ: прямая } (AK) \]