Решение задачи: упругий нецентральный удар шаров

Для решения этой задачи и выполнения рисунка в тетради, следуйте приведенному ниже описанию и расчету. Описание рисунка: 1. Изобразите два шара в момент соприкосновения. Первый шар (массой \(m_1\)) находится слева и сверху, второй шар (массой \(m_2\)) — справа и снизу. 2. Проведите прямую линию через центры обоих шаров. Это "линия центров". 3. От центра первого шара проведите вектор начальной скорости \(v_1\). Этот вектор должен быть направлен под углом 60 градусов к линии центров. 4. После удара второй шар начнет движение вдоль линии центров, так как поверхности гладкие и импульс передается только по нормали (вдоль линии, соединяющей центры). Обозначьте его скорость как \(u_2\). 5. Первый шар после удара полетит под некоторым другим углом. Обозначьте его скорость как \(u_1\). Решение задачи: Дано: \(m_1 = 100\) г \(m_2 = 300\) г \(v_1 = 120\) см/с \(\alpha = 60^\circ\) Удар абсолютно упругий, поверхности гладкие. Найти: \(u_2\) — ? Решение: Так как поверхности шаров гладкие, сила взаимодействия при ударе направлена вдоль линии центров. Это означает, что второму шару передается импульс только вдоль этой линии. Запишем закон сохранения импульса в проекции на линию центров: \[m_1 v_1 \cos \alpha = m_1 u_{1x} + m_2 u_2\] где \(u_{1x}\) — проекция скорости первого шара на линию центров после удара. Поскольку удар абсолютно упругий, выполняется закон сохранения кинетической энергии. Однако для решения удобнее использовать свойство, что при упругом ударе проекция относительной скорости тел на линию удара меняет знак: \[v_{1x} - v_{2x} = -(u_{1x} - u_{2x})\] Так как второй шар покоился (\(v_{2x} = 0\)), а \(v_{1x} = v_1 \cos \alpha\), получаем: \[v_1 \cos \alpha = u_2 - u_{1x}\] Выразим \(u_{1x}\) из этого уравнения: \[u_{1x} = u_2 - v_1 \cos \alpha\] Подставим это выражение в закон сохранения импульса: \[m_1 v_1 \cos \alpha = m_1 (u_2 - v_1 \cos \alpha) + m_2 u_2\] Раскроем скобки: \[m_1 v_1 \cos \alpha = m_1 u_2 - m_1 v_1 \cos \alpha + m_2 u_2\] Перенесем слагаемые с \(v_1\) в одну сторону, а с \(u_2\) в другую: \[2 m_1 v_1 \cos \alpha = u_2 (m_1 + m_2)\] Отсюда искомая скорость второго шара: \[u_2 = \frac{2 m_1 v_1 \cos \alpha}{m_1 + m_2}\] Подставим численные значения: \[u_2 = \frac{2 \cdot 100 \cdot 120 \cdot \cos 60^\circ}{100 + 300}\] Так как \(\cos 60^\circ = 0,5\): \[u_2 = \frac{200 \cdot 120 \cdot 0,5}{400}\] \[u_2 = \frac{100 \cdot 120}{400} = \frac{12000}{400} = 30 \text{ см/с}\] Ответ: 30 см/с.