Определение уравнения прямой в задачах зависит от того, какие данные вам известны и какой формат уравнения удобнее использовать для дальнейших вычислений. Оба формата, \(ax+by+c=0\) (общее уравнение прямой) и \(y=kx+b\) (уравнение прямой с угловым коэффициентом), описывают одну и ту же прямую, но имеют свои преимущества.
Давайте разберем, когда какой формат удобнее использовать.
Когда использовать формулу \(y=kx+b\)
Формула \(y=kx+b\) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
* \(k\) — это угловой коэффициент прямой, который показывает наклон прямой относительно оси \(Ox\). Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\): \(k = \tan \alpha\).
* \(b\) — это свободный член, который показывает координату точки пересечения прямой с осью \(Oy\).
Когда удобно использовать \(y=kx+b\):
1. Когда известен угловой коэффициент \(k\) и точка \((x_0, y_0)\):
Если вам дан наклон прямой (или угол наклона) и одна точка, через которую проходит прямая, то удобно сначала найти \(k\), а затем подставить координаты точки в уравнение \(y=kx+b\) для нахождения \(b\).
Например, если \(k=2\) и прямая проходит через точку \((1, 3)\):
\[3 = 2 \cdot 1 + b\]
\[3 = 2 + b\]
\[b = 1\]
Тогда уравнение прямой: \(y=2x+1\).
2. Когда известны две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):
Сначала можно найти угловой коэффициент \(k\) по формуле:
\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
(при условии, что \(x_1 \neq x_2\)).
Затем, используя одну из точек и найденный \(k\), найти \(b\), как в предыдущем пункте.
Например, если точки \((1, 3)\) и \((3, 7)\):
\[k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\]
Используем точку \((1, 3)\):
\[3 = 2 \cdot 1 + b\]
\[b = 1\]
Уравнение: \(y=2x+1\).
3. Когда нужно легко определить наклон прямой или точку пересечения с осью \(Oy\):
Из этого уравнения сразу видно, как прямая наклонена и где она пересекает ось \(Oy\). Это удобно для построения графика или анализа поведения функции.
4. Когда прямая не параллельна оси \(Oy\):
Если прямая параллельна оси \(Oy\) (вертикальная прямая), то ее угловой коэффициент \(k\) не определен (знаменатель \(x_2 - x_1\) будет равен нулю). В этом случае уравнение \(y=kx+b\) использовать нельзя.
Когда использовать формулу \(ax+by+c=0\)
Формула \(ax+by+c=0\) называется общим уравнением прямой.
* \(a\), \(b\), \(c\) — это некоторые числа (коэффициенты), причем \(a\) и \(b\) не могут быть одновременно равны нулю.
* Вектор \(\vec{n}=(a, b)\) является вектором нормали к прямой (перпендикулярным к ней).
Когда удобно использовать \(ax+by+c=0\):
1. Когда прямая параллельна оси \(Oy\) (вертикальная прямая):
Если прямая вертикальная, то ее уравнение имеет вид \(x=const\). Например, \(x=5\). В этом случае \(a=1\), \(b=0\), \(c=-5\), и уравнение \(1 \cdot x + 0 \cdot y - 5 = 0\) или просто \(x-5=0\). Формат \(y=kx+b\) здесь неприменим.
2. Когда прямая параллельна оси \(Ox\) (горизонтальная прямая):
Ее уравнение имеет вид \(y=const\). Например, \(y=3\). В этом случае \(a=0\), \(b=1\), \(c=-3\), и уравнение \(0 \cdot x + 1 \cdot y - 3 = 0\) или просто \(y-3=0\). Формат \(y=kx+b\) также работает (\(k=0\), \(b=3\)), но общий вид тоже вполне подходит.
3. Когда известна точка \((x_0, y_0)\) и вектор нормали \(\vec{n}=(a, b)\):
Если вам дан вектор, перпендикулярный прямой, и точка, через которую она проходит, то удобно использовать формулу:
\[a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\]
Раскрыв скобки, вы получите общий вид уравнения.
Например, если прямая проходит через \((2, 1)\) и перпендикулярна вектору \(\vec{n}=(3, -2)\):
\[3(x - 2) + (-2)(y - 1) = 0\]
\[3x - 6 - 2y + 2 = 0\]
\[3x - 2y - 4 = 0\]
4. Когда нужно найти расстояние от точки до прямой:
Формула для расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(ax+by+c=0\) выглядит так:
\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
Для этой формулы удобно, чтобы уравнение прямой было представлено в общем виде.
5. Когда нужно найти угол между двумя прямыми:
Если уравнения прямых даны в общем виде \(a_1x+b_1y+c_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2=0\), то косинус угла между ними можно найти через их векторы нормали \(\vec{n_1}=(a_1, b_1)\) и \(\vec{n_2}=(a_2, b_2)\):
\[\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}\]
6. Когда нужно найти точку пересечения двух прямых:
Система из двух линейных уравнений в общем виде:
\[\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}\]
удобно решается для нахождения координат точки пересечения.
Как переходить от одного вида к другому
* Из \(y=kx+b\) в \(ax+by+c=0\):
Просто перенесите все члены в одну сторону:
\[kx - y + b = 0\]
Здесь \(a=k\), \(b=-1\), \(c=b\).
Например, из \(y=2x+1\):
\[2x - y + 1 = 0\]
* Из \(ax+by+c=0\) в \(y=kx+b\):
Выразите \(y\), если \(b \neq 0\):
\[by = -ax - c\]
\[y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\]
Здесь \(k = -\frac{a}{b}\), \(b_{новое} = -\frac{c}{b}\).
Например, из \(3x - 2y - 4 = 0\):
\[-2y = -3x + 4\]
\[y = \frac{-3x + 4}{-2}\]
\[y = \frac{3}{2}x - 2\]
Здесь \(k = \frac{3}{2}\), \(b = -2\).
Вывод
* Используйте \(y=kx+b\), когда вам нужно работать с угловым коэффициентом, строить график, или когда прямая не является вертикальной. Это более интуитивный вид для понимания наклона и пересечения с осью \(Oy\).
* Используйте \(ax+by+c=0\), когда прямая может быть вертикальной, когда вам даны векторы нормали, или когда нужно использовать формулы, связанные с расстоянием от точки до прямой или углом между прямыми. Этот вид более универсален и позволяет описывать все прямые на плоскости.
В большинстве задач можно использовать любой из этих видов, а затем при необходимости переходить к другому. Выбор зависит от того, какой вид упрощает решение конкретной задачи.
