Решение задач по комбинаторике и теории вероятностей

Задача: Вероятность безотказной работы каждого из двух блоков прибора равна 0,9. Блоки работают независимо. Найдите вероятность безотказной работы прибора, если для этого достаточно работы хотя бы одного блока. Решение: Пусть событие \( A \) — безотказная работа первого блока, событие \( B \) — безотказная работа второго блока. По условию: \[ P(A) = 0,9 \] \[ P(B) = 0,9 \] События \( A \) и \( B \) независимы. Нам нужно найти вероятность того, что будет работать хотя бы один блок. Это событие можно обозначить как \( A \cup B \) (объединение событий). Способ 1 (через противоположное событие): 1. Найдем вероятность отказа каждого блока: \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1 \] \[ P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,9 = 0,1 \] 2. Найдем вероятность того, что откажут оба блока одновременно (событие \( \bar{C} \)). Так как блоки работают независимо, используем теорему умножения: \[ P(\bar{C}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \] 3. Вероятность того, что прибор будет работать (хотя бы один блок исправен), равна: \[ P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - 0,01 = 0,99 \] Способ 2 (через теорему сложения для совместных событий): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,9 \cdot 0,9 = 0,81 \] \[ P(A \cup B) = 0,9 + 0,9 - 0,81 = 1,8 - 0,81 = 0,99 \] Ответ: 0,99.