Решение задач по комбинаторике и теории вероятностей

Задача: В ящике 10 деталей с завода №1 и 20 деталей с завода №2. Вероятность брака для завода №1 равна 0,05, для завода №2 — 0,03. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она с завода №1? Решение: Данная задача решается с помощью формулы Байеса, которая позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как стало известно событие (деталь оказалась бракованной). 1. Введем гипотезы: \( H_1 \) — деталь изготовлена на заводе №1; \( H_2 \) — деталь изготовлена на заводе №2. 2. Общее количество деталей в ящике: \[ 10 + 20 = 30 \] 3. Найдем априорные вероятности гипотез: \[ P(H_1) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] \[ P(H_2) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \] 4. Пусть событие \( A \) — взятая деталь оказалась бракованной. Условные вероятности брака для каждого завода по условию: \[ P(A|H_1) = 0,05 \] \[ P(A|H_2) = 0,03 \] 5. Вычислим полную вероятность события \( A \) (вероятность того, что любая наугад взятая деталь — брак): \[ P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) \] \[ P(A) = \frac{1}{3} \cdot 0,05 + \frac{2}{3} \cdot 0,03 = \frac{0,05}{3} + \frac{0,06}{3} = \frac{0,11}{3} \] 6. Используем формулу Байеса, чтобы найти вероятность того, что бракованная деталь поступила с завода №1: \[ P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)} \] \[ P(H_1|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,05}{\frac{0,11}{3}} = \frac{0,05}{0,11} = \frac{5}{11} \] 7. Вычислим значение: \[ \frac{5}{11} \approx 0,4545 \] Ответ: \( \frac{5}{11} \) (или примерно 0,455).