Решение задачи по статистике: Анализ данных call-центра

Вариант 1. Решение задач по статистике. Задание 1. Анализ данных call-центра «Омега» (n=20). Для расчетов используем середины интервалов звонков (\(x_i\)): 2, 4, 6, 8. Частоты (\(f_i\)): 3, 8, 7, 2. 1. Выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n} = \frac{2 \cdot 3 + 4 \cdot 8 + 6 \cdot 7 + 8 \cdot 2}{20} = \frac{6 + 32 + 42 + 16}{20} = \frac{96}{20} = 4,8 \] 2. Мода (\(Mo\)): Интервал с наибольшей частотой (8) — это 3-5. \[ Mo = 4 \] (середина модального интервала). 3. Медиана (\(Me\)): Порядковый номер медианы \(20 / 2 = 10\). 10-е значение попадает в интервал 3-5. \[ Me = 4 \] 4. Дисперсия (\(s^2\)): \[ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{n} = \frac{(2-4,8)^2 \cdot 3 + (4-4,8)^2 \cdot 8 + (6-4,8)^2 \cdot 7 + (8-4,8)^2 \cdot 2}{20} \] \[ s^2 = \frac{7,84 \cdot 3 + 0,64 \cdot 8 + 1,44 \cdot 7 + 10,24 \cdot 2}{20} = \frac{23,52 + 5,12 + 10,08 + 20,48}{20} = \frac{59,2}{20} = 2,96 \] 5. Асимметрия (\(As\)) и Эксцесс (\(Ex\)): Так как \( \bar{x} > Me \), наблюдается небольшая правосторонняя асимметрия. Задание 4. Корреляция и регрессия (Омега). Данные: X (стаж): 2, 6, 12, 8, 18, 10, 5, 15 Y (звонки): 4, 7, 10, 8, 12, 9, 6, 10 а) Коэффициент корреляции Пирсона (\(r_{xy}\)): Вычислим суммы: \[ \sum X = 76, \sum Y = 66, \sum X^2 = 922, \sum Y^2 = 590, \sum XY = 721, n = 8 \] \[ r_{xy} = \frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{[n \sum X^2 - (\sum X)^2][n \sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \] \[ r_{xy} = \frac{8 \cdot 721 - 76 \cdot 66}{\sqrt{[8 \cdot 922 - 76^2][8 \cdot 590 - 66^2]}} = \frac{5768 - 5016}{\sqrt{[7376 - 5776][4720 - 4356]}} \] \[ r_{xy} = \frac{752}{\sqrt{1600 \cdot 364}} = \frac{752}{40 \cdot 19,08} \approx \frac{752}{763,2} \approx 0,985 \] Вывод: Связь между стажем и количеством звонков очень сильная и прямая. б) Уравнение линейной регрессии \( Y = a + bX \): \[ b = \frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{n \sum X^2 - (\sum X)^2} = \frac{752}{1600} = 0,47 \] \[ a = \bar{y} - b\bar{x} = \frac{66}{8} - 0,47 \cdot \frac{76}{8} = 8,25 - 0,47 \cdot 9,5 = 8,25 - 4,465 = 3,785 \] Уравнение: \( Y = 3,785 + 0,47X \) в) Прогноз для \( X = 9 \): \[ Y(9) = 3,785 + 0,47 \cdot 9 = 3,785 + 4,23 = 8,015 \] Ответ: При стаже 9 месяцев можно прогнозировать примерно 8 звонков в час.