Решение контрольной работы №1 по теоретической механике - Вариант 1

Вот ответы на вопросы из контрольной работы: Контрольная работа №1 по разделу «Теоретическая механика» Вариант 1 1. Раздел, изучающий законы действия сил, законы равновесия: 1) Статика. 2. Дайте определение понятиям абсолютно твёрдое тело и материальная точка. Абсолютно твёрдое тело – это идеализированное тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся неизменным при любых воздействиях. Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. 3. Определить проекции силы F на оси X и Y. На рисунке сила F = 10 Н направлена вдоль оси Y. Проекция силы F на ось X: \(F_x = 0\) Проекция силы F на ось Y: \(F_y = 10 \text{ Н}\) 4. Чему равен момент пары сил, если \(P = P' = 20 \text{ Н}\cdot\text{м}\), а плечо пары \(l = 0,2 \text{ м}\)? Момент пары сил \(M\) равен произведению одной из сил \(P\) на плечо \(l\). \(M = P \cdot l\) \(M = 20 \text{ Н} \cdot 0,2 \text{ м}\) \(M = 4 \text{ Н}\cdot\text{м}\) Правильный ответ: 4) 4 Нм. 5. Эта связь называется ... На рисунке изображена шарнирно-неподвижная опора. Эта связь называется **шарнирно-неподвижной опорой**. 6. Определить опорные реакции. Для определения опорных реакций необходимо применить уравнения равновесия. Пусть в левой опоре (шарнирно-неподвижной) действуют реакции \(R_{Ax}\) и \(R_{Ay}\). В правой опоре (шарнирно-подвижной) действует реакция \(R_{By}\). Сила \(F = 20 \text{ кН}\) приложена под углом \(30^\circ\). Разложим силу \(F\) на горизонтальную и вертикальную составляющие: \(F_x = F \cdot \cos(30^\circ) = 20 \text{ кН} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ кН} \approx 17,32 \text{ кН}\) \(F_y = F \cdot \sin(30^\circ) = 20 \text{ кН} \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ кН}\) Уравнения равновесия: 1. Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю: \(\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} - F_x = 0\) \(R_{Ax} = F_x = 10\sqrt{3} \text{ кН}\) 2. Сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю: \(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - F_y = 0\) \(R_{Ay} + R_{By} = 10 \text{ кН}\) 3. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. Возьмем точку A: \(\sum M_A = 0 \Rightarrow F_y \cdot 0,4 \text{ м} - R_{By} \cdot (0,4 \text{ м} + 0,6 \text{ м}) = 0\) \(10 \text{ кН} \cdot 0,4 \text{ м} - R_{By} \cdot 1 \text{ м} = 0\) \(4 \text{ кН}\cdot\text{м} - R_{By} \cdot 1 \text{ м} = 0\) \(R_{By} = 4 \text{ кН}\) Теперь найдем \(R_{Ay}\) из второго уравнения: \(R_{Ay} + 4 \text{ кН} = 10 \text{ кН}\) \(R_{Ay} = 10 \text{ кН} - 4 \text{ кН} = 6 \text{ кН}\) Опорные реакции: \(R_{Ax} = 10\sqrt{3} \text{ кН} \approx 17,32 \text{ кН}\) \(R_{Ay} = 6 \text{ кН}\) \(R_{By} = 4 \text{ кН}\) 7. Движение, при котором все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижности, называется **вращательным движением**. 8. Точка M движется по окружности радиуса R согласно уравнению \(S = 2t^3 + 3\). Чему равна скорость точки в момент времени \(t = 1 \text{ с}\)? Уравнение движения \(S = 2t^3 + 3\) описывает путь, пройденный точкой. Скорость \(v\) – это первая производная пути по времени: \(v = \frac{dS}{dt}\) \(v = \frac{d}{dt}(2t^3 + 3)\) \(v = 2 \cdot 3t^{3-1} + 0\) \(v = 6t^2\) Теперь подставим \(t = 1 \text{ с}\): \(v(1) = 6 \cdot (1)^2\) \(v(1) = 6 \cdot 1\) \(v(1) = 6 \text{ м/с}\) В вопросе, вероятно, опечатка в единицах измерения для вариантов ответа (м/с\(^2\)). Если вопрос подразумевает ускорение, то: Ускорение \(a\) – это первая производная скорости по времени или вторая производная пути по времени: \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2S}{dt^2}\) \(a = \frac{d}{dt}(6t^2)\) \(a = 6 \cdot 2t^{2-1}\) \(a = 12t\) В момент времени \(t = 1 \text{ с}\): \(a(1) = 12 \cdot 1\) \(a(1) = 12 \text{ м/с}^2\) Если вопрос про скорость, то ответ \(6 \text{ м/с}\). Если вопрос про ускорение, то ответ \(12 \text{ м/с}^2\). Учитывая варианты ответов, которые даны в м/с\(^2\), скорее всего, спрашивается ускорение. Правильный ответ (если вопрос про ускорение): 3) 6 м/с\(^2\) (но по расчетам 12 м/с\(^2\)). Если же вопрос про скорость, то \(6 \text{ м/с}\). Давайте перепроверим варианты ответов. Если в вариантах ответа указаны единицы ускорения (м/с\(^2\)), то, возможно, вопрос был сформулирован не совсем точно, и имелось в виду ускорение. Если же вопрос действительно про скорость, то ни один из вариантов не подходит по единицам измерения. Предположим, что в вариантах ответа опечатка, и они должны быть в м/с. Тогда \(6 \text{ м/с}\) был бы правильным ответом. Если же вопрос про ускорение, то \(a(1) = 12 \text{ м/с}^2\). В вариантах ответа нет \(12 \text{ м/с}^2\). Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть ошибка. Если бы \(S = 2t^2 + 3\), тогда \(v = 4t\), \(v(1) = 4 \text{ м/с}\), \(a = 4 \text{ м/с}^2\). Если бы \(S = 3t^2 + 3\), тогда \(v = 6t\), \(v(1) = 6 \text{ м/с}\), \(a = 6 \text{ м/с}^2\). Исходя из того, что в вариантах есть \(6 \text{ м/с}^2\), и это третий вариант, можно предположить, что исходное уравнение должно было быть \(S = 3t^2 + 3\), и тогда ускорение было бы \(6 \text{ м/с}^2\). Но по заданному уравнению \(S = 2t^3 + 3\), скорость \(v = 6t^2\), а ускорение \(a = 12t\). При \(t = 1 \text{ с}\): Скорость \(v = 6 \cdot (1)^2 = 6 \text{ м/с}\) Ускорение \(a = 12 \cdot 1 = 12 \text{ м/с}^2\) Если вопрос про скорость, то ответ \(6 \text{ м/с}\). Если про ускорение, то \(12 \text{ м/с}^2\). Так как в вариантах ответа есть \(6 \text{ м/с}^2\), и это третий вариант, то, скорее всего, имелось в виду, что ускорение равно \(6 \text{ м/с}^2\), что возможно, если уравнение пути было бы \(S = 3t^2 + \text{const}\). Но строго по заданному уравнению \(S = 2t^3 + 3\), правильный ответ для скорости \(6 \text{ м/с}\), а для ускорения \(12 \text{ м/с}^2\). Если выбирать из предложенных вариантов, и предполагать, что вопрос про ускорение, то ни один из вариантов не совпадает с расчетами. Если же вопрос про скорость, и в вариантах опечатка в единицах, то \(6 \text{ м/с}\) (вариант 3) был бы наиболее подходящим, если бы он был \(6 \text{ м/с}\). Давайте придерживаться строгого решения: Скорость \(v = 6t^2\). При \(t = 1 \text{ с}\), \(v = 6 \text{ м/с}\). Ускорение \(a = 12t\). При \(t = 1 \text{ с}\), \(a = 12 \text{ м/с}^2\). Так как в вариантах ответа есть \(6 \text{ м/с}^2\), и это третий вариант, то, возможно, в задаче подразумевалось, что нужно найти ускорение, и в уравнении пути была опечатка. Если бы \(S = 3t^2 + 3\), то \(a = 6 \text{ м/с}^2\). Если же вопрос про скорость, то \(6 \text{ м/с}\). Я выберу ответ, который наиболее близок к одному из вариантов, предполагая, что вопрос про скорость, а в вариантах опечатка в единицах. Скорость точки в момент времени \(t = 1 \text{ с}\) равна \(6 \text{ м/с}\). Если бы варианты были: 1) 2 м/с, 2) 4 м/с, 3) 6 м/с, 4) 8 м/с, то ответ был бы 3).