Решение задач по математике: lim, функция, интеграл

Хорошо, давайте вычислим определенный интеграл. Нам нужно найти определенный интеграл от функции \( (3x^4 + 5) \) по \(dx\) в пределах от 1 до 2. \[ \int_{1}^{2} (3x^4 + 5) dx \] Сначала найдем неопределенный интеграл (первообразную) функции \( (3x^4 + 5) \). Используем правила интегрирования: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] \[ \int a dx = ax + C \] Применяем эти правила к каждому члену: 1. Интегрируем \(3x^4\): \[ \int 3x^4 dx = 3 \int x^4 dx = 3 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 3 \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{3}{5}x^5 \] 2. Интегрируем \(5\): \[ \int 5 dx = 5x \] Таким образом, первообразная функции \( (3x^4 + 5) \) без константы \(C\) будет: \[ F(x) = \frac{3}{5}x^5 + 5x \] Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл, мы используем формулу Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] В нашем случае \(a = 1\) и \(b = 2\). Вычислим \(F(2)\): \[ F(2) = \frac{3}{5}(2)^5 + 5(2) \] \[ F(2) = \frac{3}{5} \cdot 32 + 10 \] \[ F(2) = \frac{96}{5} + 10 \] Чтобы сложить дроби, приведем 10 к общему знаменателю: \(10 = \frac{50}{5}\). \[ F(2) = \frac{96}{5} + \frac{50}{5} = \frac{146}{5} \] Вычислим \(F(1)\): \[ F(1) = \frac{3}{5}(1)^5 + 5(1) \] \[ F(1) = \frac{3}{5} \cdot 1 + 5 \] \[ F(1) = \frac{3}{5} + 5 \] Приведем 5 к общему знаменателю: \(5 = \frac{25}{5}\). \[ F(1) = \frac{3}{5} + \frac{25}{5} = \frac{28}{5} \] Теперь вычтем \(F(1)\) из \(F(2)\): \[ \int_{1}^{2} (3x^4 + 5) dx = F(2) - F(1) = \frac{146}{5} - \frac{28}{5} \] \[ \int_{1}^{2} (3x^4 + 5) dx = \frac{146 - 28}{5} \] \[ \int_{1}^{2} (3x^4 + 5) dx = \frac{118}{5} \] Можно также представить результат в виде десятичной дроби: \[ \frac{118}{5} = 23.6 \] Итак, определенный интеграл равен \( \frac{118}{5} \) или \( 23.6 \).