Решение задачи: Кинетическая энергия мяча

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Решение задачи: Дано: Начальная скорость мяча \(v_0 = 20\) м/с Кинетическая энергия уменьшится в 4 раза, то есть \(E_k = \frac{E_{k0}}{4}\) Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) Найти: Высота \(h\) Ход решения: 1. Запишем формулу для начальной кинетической энергии мяча: \[E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2}\] где \(m\) - масса мяча. 2. Запишем формулу для кинетической энергии мяча на некоторой высоте \(h\): \[E_k = \frac{m v^2}{2}\] где \(v\) - скорость мяча на высоте \(h\). 3. По условию задачи, кинетическая энергия на высоте \(h\) уменьшилась в 4 раза: \[E_k = \frac{E_{k0}}{4}\] Подставим выражения для \(E_k\) и \(E_{k0}\): \[\frac{m v^2}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m v_0^2}{2}\] Сократим \(m\) и \(2\) с обеих сторон уравнения: \[v^2 = \frac{v_0^2}{4}\] Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти скорость \(v\): \[v = \sqrt{\frac{v_0^2}{4}}\] \[v = \frac{v_0}{2}\] 4. Теперь мы знаем, что на искомой высоте скорость мяча уменьшится в 2 раза по сравнению с начальной скоростью. Подставим значение \(v_0\): \[v = \frac{20 \text{ м/с}}{2} = 10 \text{ м/с}\] 5. Для нахождения высоты \(h\) воспользуемся законом сохранения энергии или формулой для равноускоренного движения. Используем формулу для равноускоренного движения (без учета времени): \[v^2 = v_0^2 - 2gh\] где \(v\) - конечная скорость на высоте \(h\), \(v_0\) - начальная скорость, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота. Знак минус стоит, потому что мяч движется вверх, против направления ускорения свободного падения. 6. Выразим высоту \(h\) из этой формулы: \[2gh = v_0^2 - v^2\] \[h = \frac{v_0^2 - v^2}{2g}\] 7. Подставим известные значения: \[h = \frac{(20 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2 - 100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{300 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2}\] \[h \approx 15.31 \text{ м}\] Ответ: Кинетическая энергия мяча уменьшится в 4 раза на высоте примерно \(15.31\) м.