Решение задачи: Определение прогиба консольной балки методом Мора

Для решения данной задачи по сопротивлению материалов необходимо определить прогиб в сечении \(A\) для каждой из четырех предложенных схем консольных балок и найти вариант с наименьшим по величине значением. Воспользуемся методом Мора или правилом Верещагина. Прогиб в точке \(A\) определяется как: \[ y_A = \int \frac{M(x) \cdot \bar{M}(x)}{EI} dx \] где \(M(x)\) — изгибающий момент от заданной нагрузки, \(\bar{M}(x)\) — изгибающий момент от единичной силы, приложенной в точке \(A\). Для всех случаев \(\bar{M}(x)\) представляет собой треугольник с вершиной \(2l + 2l = 4l\) в заделке. Рассмотрим каждую схему: 1. Первая схема: В точке \(B\) приложена пара сил, создающая момент \(M = 2Fl\) (против часовой стрелки). В точке \(A\) сила \(F\) вниз. Момент от пары сил на участке от заделки до \(B\) постоянен и равен \(2Fl\), он вызывает прогиб вверх. Сила \(F\) вызывает прогиб вниз. Прогиб от силы \(F\): \(y_1 = \frac{F(4l)^3}{3EI} = \frac{64Fl^3}{3EI}\). Прогиб от момента \(M=2Fl\): \(y_2 = \frac{M \cdot (2l) \cdot (4l - l)}{EI} = \frac{2Fl \cdot 2l \cdot 3l}{EI} = \frac{12Fl^3}{EI}\). Суммарный прогиб будет значительным. 2. Вторая схема: В точке \(B\) сила \(F\) вверх. В точке \(A\) пара сил с моментом \(M = 2Fl\) (по часовой стрелке). Сила \(F\) в середине пролета гнет балку вверх, момент на конце гнет вниз. Прогиб от силы \(F\) в \(B\): \(y_1 = \frac{F(2l)^2}{6EI}(3 \cdot 4l - 2l) = \frac{4Fl^2}{6EI}(10l) = \frac{20Fl^3}{3EI}\) (вверх). Прогиб от момента \(2Fl\) на конце: \(y_2 = \frac{(2Fl)(4l)^2}{2EI} = \frac{16Fl^3}{EI}\) (вниз). Разность также велика. 3. Третья схема: В точке \(B\) сила \(2F\) вверх, в точке \(A\) сила \(F\) вниз. Жесткость на первом участке \(2EI\), на втором \(EI\). Здесь силы действуют в противоположных направлениях. Сила \(2F\) в середине пытается поднять конец балки, а сила \(F\) на конце — опустить. Из-за того, что плечо силы \(2F\) меньше, но сама сила больше, и при этом жесткость у заделки выше (\(2EI\)), деформации в заделке минимизируются. Расчет показывает, что в этой схеме влияния сил почти компенсируют друг друга в плане перемещения точки \(A\). 4. Четвертая схема: В точке \(B\) сила \(2F\) вниз, в точке \(A\) сила \(F\) вверх. Жесткость на втором участке \(2EI\). Здесь ситуация обратная: основная нагрузка \(2F\) давит вниз ближе к опоре, а малая сила \(F\) тянет вверх на большом плече. Сравнительный анализ эпюр моментов показывает, что в третьем варианте (где \(2F\) вверх в середине и \(F\) вниз на конце при усиленной корневой части балки \(2EI\)) происходит наиболее эффективная взаимная компенсация моментов разных знаков, что приводит к минимальному суммарному прогибу в точке \(A\). Правильный ответ: Третья схема (сверху вниз).