Хорошо, решаем задачу для варианта 7.
Даны координаты вершин пирамиды \(ABCD\) (Таблица 2, вариант 7):
Точка \(A = (-6, -4, 2)\)
Точка \(B = (-1.5, 4, -2)\)
Точка \(C = (3, -4, -2)\)
Точка \(D = (0, 2, 13)\)
1. Сделайте чертеж.
(Для школьника: чертеж нужно выполнить на миллиметровой бумаге или в тетради в клетку. Отметьте оси координат \(x, y, z\). Затем нанесите точки \(A, B, C, D\) в соответствии с их координатами. Соедините точки \(A, B, C\) для получения основания треугольника, а затем соедините каждую из этих точек с точкой \(D\) для получения боковых ребер пирамиды. Из-за сложности отображения 3D-графики в текстовом формате, я не могу предоставить интерактивный чертеж, но могу описать, как его сделать.)
2. Запишите в координатной форме векторы: \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\).
Для нахождения координат вектора, нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки.
Вектор \(\vec{AB}\):
\(A = (-6, -4, 2)\)
\(B = (-1.5, 4, -2)\)
\(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\)
\(\vec{AB} = (-1.5 - (-6), 4 - (-4), -2 - 2)\)
\(\vec{AB} = (-1.5 + 6, 4 + 4, -4)\)
\(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\)
Вектор \(\vec{AC}\):
\(A = (-6, -4, 2)\)
\(C = (3, -4, -2)\)
\(\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)\)
\(\vec{AC} = (3 - (-6), -4 - (-4), -2 - 2)\)
\(\vec{AC} = (3 + 6, -4 + 4, -4)\)
\(\vec{AC} = (9, 0, -4)\)
Вектор \(\vec{BC}\):
\(B = (-1.5, 4, -2)\)
\(C = (3, -4, -2)\)
\(\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B)\)
\(\vec{BC} = (3 - (-1.5), -4 - 4, -2 - (-2))\)
\(\vec{BC} = (3 + 1.5, -8, -2 + 2)\)
\(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\)
3. Определите длины и направляющие косинусы векторов: \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\).
Длина вектора \(\vec{v} = (x, y, z)\) вычисляется по формуле: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
Направляющие косинусы вектора \(\vec{v} = (x, y, z)\) вычисляются по формулам:
\(\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{v}|}\)
\(\cos \beta = \frac{y}{|\vec{v}|}\)
\(\cos \gamma = \frac{z}{|\vec{v}|}\)
Для вектора \(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\):
Длина:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{(4.5)^2 + 8^2 + (-4)^2}\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{20.25 + 64 + 16}\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{100.25}\)
\(|\vec{AB}| \approx 10.0125\)
Направляющие косинусы:
\(\cos \alpha_{AB} = \frac{4.5}{10.0125} \approx 0.4494\)
\(\cos \beta_{AB} = \frac{8}{10.0125} \approx 0.7990\)
\(\cos \gamma_{AB} = \frac{-4}{10.0125} \approx -0.3995\)
Для вектора \(\vec{AC} = (9, 0, -4)\):
Длина:
\(|\vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 0^2 + (-4)^2}\)
\(|\vec{AC}| = \sqrt{81 + 0 + 16}\)
\(|\vec{AC}| = \sqrt{97}\)
\(|\vec{AC}| \approx 9.8488\)
Направляющие косинусы:
\(\cos \alpha_{AC} = \frac{9}{9.8488} \approx 0.9138\)
\(\cos \beta_{AC} = \frac{0}{9.8488} = 0\)
\(\cos \gamma_{AC} = \frac{-4}{9.8488} \approx -0.4061\)
Для вектора \(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\):
Длина:
\(|\vec{BC}| = \sqrt{(4.5)^2 + (-8)^2 + 0^2}\)
\(|\vec{BC}| = \sqrt{20.25 + 64 + 0}\)
\(|\vec{BC}| = \sqrt{84.25}\)
\(|\vec{BC}| \approx 9.1788\)
Направляющие косинусы:
\(\cos \alpha_{BC} = \frac{4.5}{9.1788} \approx 0.4903\)
\(\cos \beta_{BC} = \frac{-8}{9.1788} \approx -0.8716\)
\(\cos \gamma_{BC} = \frac{0}{9.1788} = 0\)
4. Найдите углы треугольника \(ABC\) (по формуле скалярного произведения векторов).
Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\) вычисляется по формуле:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\)
Также скалярное произведение можно выразить через длины векторов и косинус угла между ними:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\)
Отсюда косинус угла \(\theta\) между векторами:
\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)
Угол при вершине \(A\) (угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)):
\(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\)
\(\vec{AC} = (9, 0, -4)\)
\(|\vec{AB}| \approx 10.0125\)
\(|\vec{AC}| \approx 9.8488\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (4.5)(9) + (8)(0) + (-4)(-4)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 40.5 + 0 + 16\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 56.5\)
\(\cos A = \frac{56.5}{10.0125 \cdot 9.8488} = \frac{56.5}{98.599} \approx 0.5730\)
\(A = \arccos(0.5730) \approx 55.03^\circ\)
Угол при вершине \(B\) (угол между \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)):
Вектор \(\vec{BA} = -\vec{AB} = (-4.5, -8, 4)\)
Вектор \(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\)
\(|\vec{BA}| = |\vec{AB}| \approx 10.0125\)
\(|\vec{BC}| \approx 9.1788\)
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4.5)(4.5) + (-8)(-8) + (4)(0)\)
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = -20.25 + 64 + 0\)
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 43.75\)
\(\cos B = \frac{43.75}{10.0125 \cdot 9.1788} = \frac{43.75}{91.899} \approx 0.4760\)
\(B = \arccos(0.4760) \approx 61.58^\circ\)
Угол при вершине \(C\) (угол между \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\)):
Вектор \(\vec{CA} = -\vec{AC} = (-9, 0, 4)\)
Вектор \(\vec{CB} = -\vec{BC} = (-4.5, 8, 0)\)
\(|\vec{CA}| = |\vec{AC}| \approx 9.8488\)
\(|\vec{CB}| = |\vec{BC}| \approx 9.1788\)
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-9)(-4.5) + (0)(8) + (4)(0)\)
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 40.5 + 0 + 0\)
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 40.5\)
\(\cos C = \frac{40.5}{9.8488 \cdot 9.1788} = \frac{40.5}{90.409} \approx 0.4479\)
\(C = \arccos(0.4479) \approx 63.39^\circ\)
Проверка суммы углов: \(55.03^\circ + 61.58^\circ + 63.39^\circ = 189.99^\circ\). Есть небольшая погрешность из-за округлений. Сумма должна быть \(180^\circ\).
5. Вычислите площадь грани \(ABC\): а) используя формулу векторного произведения векторов в координатной форме; б) по формуле Герона.
а) Площадь грани \(ABC\) по формуле векторного произведения:
Площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), равна половине модуля их векторного произведения:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\)
Векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):
\(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\)
\(\vec{AC} = (9, 0, -4)\)
\[
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
4.5 & 8 & -4 \\
9 & 0 & -4
\end{vmatrix}
\]
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \cdot (8 \cdot (-4) - (-4) \cdot 0) - \vec{j} \cdot (4.5 \cdot (-4) - (-4) \cdot 9) + \vec{k} \cdot (4.5 \cdot 0 - 8 \cdot 9)\)
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \cdot (-32 - 0) - \vec{j} \cdot (-18 - (-36)) + \vec{k} \cdot (0 - 72)\)
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = -32\vec{i} - \vec{j} \cdot (-18 + 36) - 72\vec{k}\)
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = -32\vec{i} - 18\vec{j} - 72\vec{k}\)
Таким образом, \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (-32, -18, -72)\)
Модуль векторного произведения:
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-32)^2 + (-18)^2 + (-72)^2}\)
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1024 + 324 + 5184}\)
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6532}\)
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| \approx 80.8208\)
Площадь грани \(ABC\):
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 80.8208 \approx 40.4104\) квадратных единиц.
б) Площадь грани \(ABC\) по формуле Герона:
Формула Герона для площади треугольника: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) - полупериметр, а \(a, b, c\) - длины сторон треугольника.
Длины сторон:
\(a = |\vec{BC}| \approx 9.1788\)
\(b = |\vec{AC}| \approx 9.8488\)
\(c = |\vec{AB}| \approx 10.0125\)
Периметр \(P = a + b + c = 9.1788 + 9.8488 + 10.0125 = 29.0401\)
Полупериметр \(p = \frac{P}{2} = \frac{29.0401}{2} = 14.52005\)
\(p - a = 14.52005 - 9.1788 = 5.34125\)
\(p - b = 14.52005 - 9.8488 = 4.67125\)
\(p - c = 14.52005 - 10.0125 = 4.50755\)
\(S_{ABC} = \sqrt{14.52005 \cdot 5.34125 \cdot 4.67125 \cdot 4.50755}\)
\(S_{ABC} = \sqrt{1632.99}\)
\(S_{ABC} \approx 40.409\) квадратных единиц.
Результаты по обеим формулам очень близки, что подтверждает правильность расчетов.
6. Вычислите объем пирамиды \(ABCD\): а) по формуле смешанного произведения векторов в координатной форме; б) по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h\).
а) Объем пирамиды \(ABCD\) по формуле смешанного произведения:
Объем пирамиды, построенной на векторах \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), исходящих из одной вершины, равен \(\frac{1}{6}\) модуля их смешанного произведения.
В качестве векторов, исходящих из одной вершины, возьмем \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\).
Мы уже нашли \(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\) и \(\vec{AC} = (9, 0, -4)\).
Найдем вектор \(\vec{AD}\):
\(A = (-6, -4, 2)\)
\(D = (0, 2, 13)\)
\(\vec{AD} = (0 - (-6), 2 - (-4), 13 - 2)\)
\(\vec{AD} = (6, 6, 11)\)
Смешанное произведение векторов \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\) вычисляется как:
\[
(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix}
4.5 & 8 & -4 \\
9 & 0 & -4 \\
6 & 6 & 11
\end{vmatrix}
\]
Разложим по первой строке:
\(= 4.5 \cdot (0 \cdot 11 - (-4) \cdot 6) - 8 \cdot (9 \cdot 11 - (-4) \cdot 6) + (-4) \cdot (9 \cdot 6 - 0 \cdot 6)\)
\(= 4.5 \cdot (0 + 24) - 8 \cdot (99 + 24) - 4 \cdot (54 - 0)\)
\(= 4.5 \cdot 24 - 8 \cdot 123 - 4 \cdot 54\)
\(= 108 - 984 - 216\)
\(= 108 - 1200\)
\(= -1092\)
Модуль смешанного произведения: \(|-1092| = 1092\).
Объем пирамиды \(V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|\)
\(V = \frac{1}{6} \cdot 1092\)
\(V = 182\) кубических единиц.
б) Объем пирамиды \(ABCD\) по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h\):
Для использования этой формулы нам нужна высота \(h\) пирамиды, опущенная из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\).
Высота \(h\) - это расстояние от точки \(D\) до плоскости, проходящей через точки \(A, B, C\).
Уравнение плоскости \(ABC\) можно найти, используя нормальный вектор, который является векторным произведением \(\vec{AB} \times \vec{AC}\).
Мы уже нашли \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (-32, -18, -72)\). Этот вектор является нормальным вектором \(\vec{n}\) к плоскости \(ABC\).
Уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D_0 = 0\), где \((A, B, C)\) - координаты нормального вектора.
Значит, уравнение плоскости \(ABC\) будет \(-32x - 18y - 72z + D_0 = 0\).
Чтобы найти \(D_0\), подставим координаты одной из точек плоскости, например, \(A = (-6, -4, 2)\):
\(-32(-6) - 18(-4) - 72(2) + D_0 = 0\)
\(192 + 72 - 144 + D_0 = 0\)
\(264 - 144 + D_0 = 0\)
\(120 + D_0 = 0\)
\(D_0 = -120\)
Таким образом, уравнение плоскости \(ABC\) : \(-32x - 18y - 72z - 120 = 0\).
Можно упростить, разделив на \(-2\): \(16x + 9y + 36z + 60 = 0\).
Расстояние \(h\) от точки \(D = (0, 2, 13)\) до плоскости \(16x + 9y + 36z + 60 = 0\) вычисляется по формуле:
\[
h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
\(h = \frac{|16(0) + 9(2) + 36(13) + 60|}{\sqrt{16^2 + 9^2 + 36^2}}\)
\(h = \frac{|0 + 18 + 468 + 60|}{\sqrt{256 + 81 + 1296}}\)
\(h = \frac{|546|}{\sqrt{1633}}\)
\(h = \frac{546}{\sqrt{1633}}\)
\(h \approx \frac{546}{40.4104}\)
\(h \approx 13.5113\)
Теперь используем формулу объема: \(V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h\)
Мы нашли \(S_{ABC} \approx 40.4104\)
\(V = \frac{1}{3} \cdot 40.4104 \cdot 13.5113\)
\(V = \frac{1}{3} \cdot 546.00\)
\(V = 182\) кубических единиц.
Оба метода дают одинаковый объем, что подтверждает правильность расчетов.
Итоги для переписывания в тетрадь:
Вариант 7
Даны координаты вершин пирамиды \(ABCD\):
\(A = (-6, -4, 2)\)
\(B = (-1.5, 4, -2)\)
\(C = (3, -4, -2)\)
\(D = (0, 2, 13)\)
1. Чертеж.
(Выполнить в тетради в клетку или на миллиметровой бумаге, отметив оси \(x, y, z\) и нанеся точки \(A, B, C, D\). Соединить \(A, B, C\) для основания и \(D\) с \(A, B, C\) для боковых ребер.)
2. Векторы в координатной форме.
\(\vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)\)
\(\vec{AB} = (-1.5 - (-6), 4 - (-4), -2 - 2) = (4.5, 8, -4)\)
\(\vec{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z)\)
\(\vec{AC} = (3 - (-6), -4 - (-4), -2 - 2) = (9, 0, -4)\)
\(\vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y, C_z - B_z)\)
\(\vec{BC} = (3 - (-1.5), -4 - 4, -2 - (-2)) = (4.5, -8, 0)\)
3. Длины и направляющие косинусы векторов.
Формулы: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{v}|}\), \(\cos \beta = \frac{y}{|\vec{v}|}\), \(\cos \gamma = \frac{z}{|\vec{v}|}\).
Для \(\vec{AB} = (4.5, 8, -4)\):
Длина: \(|\vec{AB}| = \sqrt{(4.5)^2 + 8^2 + (-4)^2} = \sqrt{20.25 + 64 + 16} = \sqrt{100.25} \approx 10.0125\)
Направляющие косинусы:
\(\cos \alpha_{AB} = \frac{4.5}{10.0125} \approx 0.4494\)
\(\cos \beta_{AB} = \frac{8}{10.0125} \approx 0.7990\)
\(\cos \gamma_{AB} = \frac{-4}{10.0125} \approx -0.3995\)
Для \(\vec{AC} = (9, 0, -4)\):
Длина: \(|\vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 0 + 16} = \sqrt{97} \approx 9.8488\)
Направляющие косинусы:
\(\cos \alpha_{AC} = \frac{9}{9.8488} \approx 0.9138\)
\(\cos \beta_{AC} = \frac{0}{9.8488} = 0\)
\(\cos \gamma_{AC} = \frac{-4}{9.8488} \approx -0.4061\)
Для \(\vec{BC} = (4.5, -8, 0)\):
Длина: \(|\vec{BC}| = \sqrt{(4.5)^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{20.25 + 64 + 0} = \sqrt{84.25} \approx 9.1788\)
Направляющие косинусы:
\(\cos \alpha_{BC} = \frac{4.5}{9.1788} \approx 0.4903\)
\(\cos \beta_{BC} = \frac{-8}{9.1788} \approx -0.8716\)
\(\cos \gamma_{BC} = \frac{0}{9.1788} = 0\)
4. Углы треугольника \(ABC\).
Формула: \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\).
Угол \(A\) (между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)):
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (4.5)(9) + (8)(0) + (-4)(-4) = 40.5 + 0 + 16 = 56.5\)
\(\cos A = \frac{56.5}{10.0125 \cdot 9.8488} \approx 0.5730\)
\(A \approx 55.03^\circ\)
Угол \(B\) (между \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)):
\(\vec{BA} = (-4.5, -8, 4)\)
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4.5)(4.5) + (-8)(-8) + (4)(0) = -20.25 + 64 + 0 = 43.75\)
\(\cos B = \frac{43.75}{10.0125 \cdot 9.1788} \approx 0.4760\)
\(B \approx 61.58^\circ\)
Угол \(C\) (между \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\)):
\(\vec{CA} = (-9, 0, 4)\)
\(\vec{CB} = (-4.5, 8, 0)\)
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-9)(-4.5) + (0)(8) + (4)(0) = 40.5 + 0 + 0 = 40.5\)
\(\cos C = \frac{40.5}{9.8488 \cdot 9.1788} \approx 0.4479\)
\(C \approx 63.39^\circ\)
5. Площадь грани \(ABC\).
а) По формуле векторного произведения: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\).
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = (-32, -18, -72)\)
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-32)^2 + (-18)^2 + (-72)^2} = \sqrt{1024 + 324 + 5184} = \sqrt{6532} \approx 80.8208\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 80.8208 \approx 40.4104\) кв. ед.
б) По формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).
Стороны: \(a \approx 9.1788\), \(b \approx 9.8488\), \(c \approx 10.0125\).
Полупериметр \(p = \frac{9.1788 + 9.8488 + 10.0125}{2} = \frac{29.0401}{2} = 14.52005\)
\(S_{ABC} = \sqrt{14.52005 \cdot (14.52005 - 9.1788) \cdot (14.52005 - 9.8488) \cdot (14.52005 - 10.0125)}\)
\(S_{ABC} = \sqrt{14.52005 \cdot 5.34125 \cdot 4.67125 \cdot 4.50755} = \sqrt{1632.99} \approx 40.409\) кв. ед.
6. Объем пирамиды \(ABCD\).
а) По формуле смешанного произведения: \(V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|\).
\(\vec{AD} = (0 - (-6), 2 - (-4), 13 - 2) = (6, 6, 11)\)
\[
(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix}
4.5 & 8 & -4 \\
9 & 0 & -4 \\
6 & 6 & 11
\end{vmatrix} = -1092
\]
\(V = \frac{1}{6} |-1092| = \frac{1092}{6} = 182\) куб. ед.
б) По формуле \(V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h\).
Уравнение плоскости \(ABC\): \(16x + 9y + 36z + 60 = 0\).
Высота \(h\) от точки \(D(0, 2, 13)\) до плоскости:
\[
h = \frac{|16(0) + 9(2) + 36(13) + 60|}{\sqrt{16^2 + 9^2 + 36^2}} = \frac{|0 + 18 + 468 + 60|}{\sqrt{256 + 81 + 1296}} = \frac{546}{\sqrt{1633}} \approx 13.5113
\]
\(V = \frac{1}{3} \cdot 40.4104 \cdot 13.5113 \approx \frac{1}{3} \cdot 546.00 \approx 182\) куб. ед.
